Aussagenlogik Äquivalenz

14.05.2017, 10:34

PHBU

Aussagenlogik Äquivalenz

Hallo Forumnutzer,

ich habe eine kurze Frage zu Prä- und Aussagenlogik. Sind alle folgenden Notationen richtig?

$\begin{eqnarray*} a\mid b\Leftrightarrow\exists n\in\mathbb Z\colon an=b \end{eqnarray*}$

müsste eigentlich wie folgt notiert werden

$\begin{eqnarray*} \exists n\in\mathbb Z\colon a\mid b\Leftrightarrow an=b \end{eqnarray*}$

Der Existenzquantor gehört zur Prädikatenlogik, während der Äquivalenzpfeil zur Aussagenlogik gehört, richtig? Besitzt die Prädikatenlogik nicht eine niedrigere Priorität? Folglich müsste dann folgende Notation falsch und nicht logisch korrekt sein:

$\begin{eqnarray*} \exists x\colon A(x)\Leftrightarrow\forall y\colon P(y) \end{eqnarray*}$

Stattdessen müsste man doch schreiben

$\begin{eqnarray*} \forall y\;\exists x\colon A(x)\Leftrightarrow P(y) \end{eqnarray*}$

Bin mir allerdings unsicher, da ja Quantoren allgemein nicht kommutativ sind.

Kann mir das jemand bestätigen?

Danke im Voraus!

Mit freundlichen Grüßen
PHBU

14.05.2017, 11:25

Elvis

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Die erste Äquivalenz ist sinnvoll, sie definiert die Teilbarkeit, wenn man wie üblich voraussetzt, dass ungebundene Variable durch den Allquantor gebunden werden. Die zweite Aussage ist falsch für a=3,b=2, denn es gibt kein n, dass diese Aussage erfüllt. Die anderen Beispiele sind richtig oder falsch, je nach Interpretation.

14.05.2017, 12:59

PHBU

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Prioritäten
Hallo Elvis,

Zitat:

Die zweite Aussage ist falsch

Also ist bei Dir

$\begin{eqnarray*} \exists n\in\mathbb Z\colon a\mid b\Leftrightarrow an=b \end{eqnarray*}$

unterschiedlich zu

$\begin{eqnarray*} \exists n\in\mathbb Z\colon\left(a\mid b\Leftrightarrow an=b\right) \end{eqnarray*}$

und das wiederum unterschiedlich zu

$\begin{eqnarray*} a\mid b\Leftrightarrow\exists n\in\mathbb Z\colon an=b \end{eqnarray*}$

Wenn das wahr wäre, ist also die Priorität von der Äquivalenz höher, als die Quantoren, d.h. ich muss die Äquivalenz "ganz zum Schluss" betrachten.

Bei Implikationen hätte ich dann evtl. auch ein Problem. Betrachten wir folgenden Ausdruck, der die leere Summe zeigen soll:

$\begin{eqnarray*} \forall a,b\in\mathbb Z\colon a>b\Rightarrow\sum\limits_{n=a}^bf\left(x\right)=0 \end{eqnarray*}$

Wenn sich der Allquantor nur auf den ersten Ausdruck $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ bezöge, dann wäre die Gesamtaussage falsch, da nicht für alle ganzen Zahlen gilt, das eine Zahl, größer als die andere ist. Oder muss man hier Klammern setzen?

$\begin{eqnarray*} \forall a,b\in\mathbb Z\colon\left(a>b\Rightarrow\sum\limits_{n=a}^bf\left(x\right)=0\right) \end{eqnarray*}$

Sprich: "Für alle a und b aus Z gilt: Wenn a größer als b ist, dann [blabla]"

Gruß!

14.05.2017, 13:30

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \exists n\in\mathbb Z\colon\left(a\mid b\Leftrightarrow an=b\right) \end{eqnarray*}$

Das ist offensichtlich falsch, denn es gibt nicht ein festes n, das die Teilbarkeit definiert. n ist von a und b abhängig.

$\begin{eqnarray*} a\mid b\Leftrightarrow\exists n\in\mathbb Z\colon an=b \end{eqnarray*}$

Das ist die einzige der 3 Formeln, die für mich einen Sinn ergeben kann.

Weil die Prioritäten nicht eindeutig festliegen und weil die Reichweite von Quantoren nicht immer erkennbar ist, muss man logische Ausdrücke immer vollständig klammern. In jeder formalen Logik sind Symbole, Terme und Ausdrücke so definiert, dass sie eindeutig sind, Klammern gehören dazu. Nur wenn keine Missverständnisse auftreten können, darf man manche Klammern weglassen, Formeln ohne vollständige Klammern sieht man dann als Abkürzungen für vollständig geklammerte Formeln an.

14.05.2017, 13:39

PHBU

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Äquivalenz-, Folgepfeile
Hallo nochmal,

Zitat http://www.reisz.de/qa.htm:

Auch noch erwähnenswert sind folgende:

$\begin{eqnarray*} <br /> \forall x:a(x)\rightarrow b(x) \Rightarrow (\forall x:a(x) \Rightarrow \forall x:b(x))<br /> \forall x:a(x)\rightarrow b(x) \Rightarrow (\exists x:a(x) \Rightarrow \exists x:b(x))<br /> \end{eqnarray*}$

Sie stehen im Zusammenhang mit Tatsache, dass bei allgemeingültigen Folgerungs/Äquivalenz -beziehungen die Folgerung/Äquivalenz auch auf den Unterknoten eines Quantors angewendet werden darf.

(*Zitatende*)

Folglich ist

$\begin{eqnarray*} \forall a,b\in\mathbb Z\colon a>b\Rightarrow\sum\limits_{n=a}^{b}f\left(n\right)=0 \end{eqnarray*}$

falsch und

$\begin{eqnarray*} \forall a,b\in\mathbb Z\colon a>b\rightarrow\sum\limits_{n=a}^{b}f\left(n\right)=0 \end{eqnarray*}$

richtig.

14.05.2017, 14:06

Elvis

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Für wen ist das verbindlich, was ein bestimmter Autor in einem bestimmten Kontext definiert ? In jedem Buch steht etwas anderes, und auch in Zukunft werden sich Schreibweisen verändern.

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