F2 Untervektorräume von F8

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14.05.2017, 17:13	Reka	Auf diesen Beitrag antworten »
F2 Untervektorräume von F8 Meine Frage: Wie viele unterschiedliche F2 UVR hat F8? Gegeben ist bloß der F8, keine weiteren Einschränkungen. F8 ist ja:= {a+bß+cß^2\|a,b,c aus F2} mit b^3 = 1 + ß Meine Ideen: Grundätzlich ist ja klar, dass wir einen UVR erhalten, wenn ich b = c = 0 setzen. Damit wäre F8 ja quasi F2, da alle weiteren Elemente entfallen. Ich frage mich nur, da F2 = {0,1}, wie ich die letzten beiden Summanden "bß" und "cß^2" schaffe mit einzubringen. ß ist zwar nicht direkt Element aus F8, jedoch definitiv nicht von F2. Nun muss ein UVR ja auch Teilmenge des Vektorraums sein, die Addition und Skalarmultiplikation wird vom F8-VR über Differenzierung gegeben. Aber wenn ich nun eine Teilmenge aus F8 nehme, welche ß enthält, z.B. {0,1,1+ß, ß^2}, so ist diese ja nicht mehr in "F2" . Wenn man sich auf "ß" beschränkt und nicht "ß^2" mit einbezieht landen wir ja bei F4. Gibt es mehr als die beiden UVR {0} und {0,1} ?
14.05.2017, 17:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit jeder Teilmenge $\begin{eqnarray} M\subseteq \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ kann man den Untervektorraum $\begin{eqnarray} <M>=span(M) \end{eqnarray}$ erzeugen. Das ist sicher eine interessante Aufgabe für geduldige Tüftler, mache dich an die Arbeit, das Ergebnis möchte ich sehen. (Klar ist, dass es keine weiteren UVRe geben kann, denn von irgend etwas müssen sie ja erzeugt werden.) Anmerkung: Die definierende Gleichung muss ß³=1+ß heißen und ist nur eine Möglichkeit, den $\begin{eqnarray} \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ zu konstruieren. (In diesem Zusammenhang ist ß³ nicht wichtig.) Nachtrag: ich komme auf 16 Untervektorräume.
14.05.2017, 19:55	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die Antwort von Elvis nichts zur eigentlichen Lösung der Aufgabe beiträgt, hier ein paar Hinweise: 1) Die Körperstruktur von $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_8 \end{eqnarray}$ ist nicht relevant, nur die $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ -Vektorraumstruktur. D.h. gefragt ist bloß die Anzahl der Teilräume eines dreidimensionalen Raums über einem zweielementigen Körper. 2) Das ganze ist hauptsächlich eine Kombinatorik-Aufgabe. 3) Die Anzahl der 0- und 3-dimensionalen Unterräume ist jeweils eins, das ist klar. Zählen wir die eindimensionalen Unterräume: Jeder eindimensionale Unterraum hat eine einelementige Basis, die aus einem Vektor besteht, der nicht der Nullvektor ist. Um eine solche Basis zu wählen, gibt es $\begin{eqnarray} \|\mathbb{F}_2\|^3-1=7 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten. Da jeder eindimensionale Raum über $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ nur genau diese Basis hat, ist $\begin{eqnarray} 7 \end{eqnarray}$ die gesuchte Anzahl. 4) Die zweidimensionalen Räume lassen sich prinzipiell genauso zählen. Zu beachten ist, dass ein zweidimensionaler Unterraum nicht mehr eine eindeutige Basis hat. 5) Das Zählen vereinfacht sich, wenn man geordnete Basen (im Gegensatz zu Basen, bei denen es nicht auf die Reihenfolge der Elemente ankommt) verwendet.
15.05.2017, 07:57	Reka	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal! Wie kommt man aber nun dadrauf, dass wir einen dreidimensionalen Raum über einen zweielementigen Körper haben? Ich verstehe zwar, dass $\begin{eqnarray} 2^{3} = 8 \end{eqnarray}$ ergibt. Aber wenn wir einen dreimensionalen Raum haben, so müssten wir eine Basis aus drei Tripeln haben. Egal ob wir uns nun in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ befinden, oder in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_8 \end{eqnarray}$ , so hat doch das Tupel trotzdem stets nur einen Eintrag?. Nach meinem stand sind $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2^{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_8 \end{eqnarray}$ zwei unterschiedliche Dinge. Ich habte den Weg genommen zum Sommersemester mit dem Informatikstudium zu beginnen, was sich als etwas unpraktisch erweist, da ich mir die Grundlagen nunmal selber erarbeiten muss. Aber es macht mir sehr viel Laune und läuft vorwärts.
15.05.2017, 09:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht, dass $\begin{eqnarray} \mathbb F_8=(\mathbb F_8,+,) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb F_2^3=(\mathbb F_2^3,\mathbb F_2,+,_s) \end{eqnarray}$ unterschiedlich sind. Das erste ist ein Körper mit 8 Elementen, das zweite ist ein $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ -Vektorraum mit 8 Elementen. Das sind 2 verschiedene algebraische Strukturen, als Mengen sind sie aber gleich. Eine Basis des 3-dimensionalen Vektorraums ist zum Beispiel $\begin{eqnarray} \{1,ß,ß^2\} \end{eqnarray}$ , denn diese 3 Elemente des Körpers $\begin{eqnarray} \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ sind linear unabhängig über dem Grundkörper $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ . Linear abhängig sind zum Beispiel $\begin{eqnarray} 1,ß,1+ß \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} 1+ß=11+1ß \end{eqnarray}$ .
15.05.2017, 10:02	Reka	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt, wenn ich dich richtig verstehe, dass es bei einem $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{2} \end{eqnarray}$ Untervektorraum bloß auf die Koeffizienten ankommt? Die Menge von $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_8^{3} \end{eqnarray}$ würde: $\begin{eqnarray} \left\{ \left(0,0,0\right) \left(0,0,1\right) \left(0,1,0\right) \left(0,1,1\right) \left(1,0,0\right) \left(1,0,1\right)\left(1,1,0\right) \left(1,1,1\right) \right\} \end{eqnarray}$ entsprechen. Ich kann ja schlecht $\begin{eqnarray} \beta = 1 \end{eqnarray}$ setzen, da raus folgen würde, dass $\begin{eqnarray} \beta^{3} = 1 + \beta = 1^{3} = 1. \Rightarrow 1+\beta = 1 + 1 = 0 \neq 1 \end{eqnarray}$
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15.05.2017, 11:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das kann man so sehen. In der Basis $\begin{eqnarray} \{1,ß,ß^2\} \end{eqnarray}$ sind diese Tripel gerade die 8 möglichen Koordinatenvektoren $\begin{eqnarray} (a,b,c)=a_s1+b_sß+c_sß^2 \end{eqnarray}$ . Ich arbeite lieber mit den Körperelementen und weniger gern mit den Koordinaten, dann erzeugen z.B. die Mengen $\begin{eqnarray} M_1=\{1,ß\},M_2=\{1,1+ß\},M_3=\{ß,1+ß\} \end{eqnarray}$ den 2-dimensionalen UVR $\begin{eqnarray} <M_1>=<M_2>=<M_3>=\{0,1,ß,1+ß\} \end{eqnarray}$ . Wenn du möchtest, kannst du das auch aus $\begin{eqnarray} <\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}>=<\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}>=<\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$ schließen, aber ich sehe das nicht so unmittelbar.
15.05.2017, 13:54	Reka	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich begreife einfach nicht so richtig, wie du die ß Komponenten aus $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{8} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{2} \end{eqnarray}$ in Verbindung bringst. Es ist ja nach den $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{2} \end{eqnarray}$ Untervektorräumen von $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{8} \end{eqnarray}$ gefragt. $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ ist der minimale Körper, mit zwei Elementen, nämlich genau 0 und 1. Ein $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ Untervektorraum kann dann doch auch nicht mehr als diese beiden Elemente besitzen?
15.05.2017, 14:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, kann er. Ein K-Vektorraum ist ein Vektorraum über K, nicht ein Vektorraum in K. Untervektorräume von $\begin{eqnarray} \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ sind Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ -Vektorräume sind. $\begin{eqnarray} 0,1,ß,1+ß \end{eqnarray}$ kann man addieren wie in $\begin{eqnarray} \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ und skalar multiplizieren mit 0 und 1 aus $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ .
15.05.2017, 17:28	Reka	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Skalarmultiplikation des Untervektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ wird wird ja über Einschränkung des $\begin{eqnarray} \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ gegeben. Die Elemente mit denen ich Skalarmultiplizieren kann müssen ja aus dem ursprünglichen Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ gegeben sein. Ich kann ja nicht einfach die Skalarmultiplikationsdefinierung abändern. Beide, der Vektorraum und Untervektorraum müssen sich ja auf den selben ursprünglichen Körper beziehen oder nicht?
15.05.2017, 19:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb F_8=\mathbb F_2^3 \end{eqnarray}$ ist ein 3-dimensionaler $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ -Vektorraum. Seine Elemente sind, wie du am Anfang ganz richtig bemerkt hast, die 8 Vektoren $\begin{eqnarray} 0,1,ß,1+ß,ß^2,1+ß^2,ß+ß^2,1+ß+ß^2 \end{eqnarray}$ . Jeder Untervektorraum muss die Dimension $\begin{eqnarray} 0,1,2,3 \end{eqnarray}$ haben, hat also $\begin{eqnarray} 2^0=1,2^1=2,2^2=4,2^3=8 \end{eqnarray}$ Vektoren, und diese Vektoren sind Elemente aus $\begin{eqnarray} \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ . Vektorraum heißt, dass man die Vektoren addieren kann, $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ -Vektorraum heißt, dass jeder Vektor skalar multipliziert werden kann mit $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Offensichtlich ist $\begin{eqnarray} 0_sv=0, 1_sv=v \end{eqnarray}$ , was die Rechnung in endlichen Vektorräumen sehr einfach macht.

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