Faktorringe über Idealen

16.05.2017, 15:25

Studentu

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Faktorringe über Idealen

Hallo Community, ich hoffe, ihr könnt mir bei folgender Aufgabe helfen:

Es werden ausschließlich kommutative Ringe mit Einselement behandelt und es wird von Homomorphismen verlangt, dass sie nicht nur die Ringoperationen, sondern auch das Einselement erhalten. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ bezeichne den 3-elementigen Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .
a) Sei nun R der Polynomring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3[x] \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} p(x)=x^2+1, q(x)=(x+1)^2, r(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ . Sind die von p(x), q(x), r(x) erzeugten Ideale jeweils maximal?

Ich habe dazu folgenden Satz gefunden: Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement und I ein Ideal, dann ist R/I genau dann ein Körper, wenn I ein maximales Ideal ist.
Daher habe ich versucht, mir anzusehen, ob (p(x)) ein maximales Ideal ist, aber weiter als zum Einsetzen in die Definition von erzeugtem Ideal bin ich nicht gekommen. verwirrt

verwirrt

Wäre es zielführender, zu untersuchen, ob die Polynome jeweils irreduzibel sind und damit dann folgenden Satz anzuwenden: Sei $\begin{eqnarray*} f \in K[x] \end{eqnarray*}$ irreduzibel. Dann ist der Faktorring K[x]/(f) des Polynomrings K[x] nach dem von f erzeugten Hauptideal (f)=fK[x] ein Körper.

b) Wieviele Elemente haben R/(p(x)), R/(q(x)) und R/(r(x)) jeweils?
Bei den Elementen handelt es sich jeweils um Äquivalenzklassen bestehend aus Polynomen aus Z[x] modulo p(x) (modulo q(x), modulo r(x)) oder?

c) Ist R nullteilerfrei? Ist R sogar ein Körper? Ist R/(p(x)) nullteilerfrei? Ist R/(p(x)) sogar ein Körper? Ist R/(q(x)) nullteilerfrei? Ist R/(q(x)) sogar ein Körper?

d) Finde alle Homomorphismen h von R auf R, die h(x)=x+1 erfüllen Wie viele solche Homomorphismen gibt es? Wie viele von ihnen sind Automorphismen von R?

e) Welche der folgenden 3 Aussagen sind wahr?
$\begin{eqnarray*} R/(p(x))\equiv R/(q(x)), R/(p(x)) \equiv R/(r(x)), R/(q(x))\equiv R/(r(x)) \end{eqnarray*}$
Gib (wenn möglich) einen Isomorphismus an bzw. zeige, dass es keinen Isomorphismus geben kann.

Zuerst wäre ich einmal für Hinweise zu a) dankbar, vlt. erledigt sich dann die ein oder andere Frage zu den restlichen Unterpunkten.

18.05.2017, 08:54

Elvis

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Ist das nicht elementar ? $\begin{eqnarray*} x²+1 \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel, da in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle vorhanden. Die beiden anderen Polynome sind als Produkte offenbar nicht irreduzibel.
Genügt das als Anstoß zum weiteren Nachdenken, oder bleiben Fragen offen ?

18.05.2017, 15:12

Studentu

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Danke für deine Antwort, Elvis!

Der Beginn von a) sieht also so aus:
ad p(x): $\begin{eqnarray*} 0^2+1=1\neq 0, 1^2+1 = 2 \neq 0, 2^2 + 1 = 2 \neq 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ p(x) hat keine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ , daher ist p(x) irreduzibel.
ad q(x): $\begin{eqnarray*} (x+1)^2 = 0 \Leftrightarrow (x+1) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ q(x) hat eine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ , daher ist q(x) nicht irreduzibel.
ad r(x): $\begin{eqnarray*} x^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ r(x) hat eine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ , daher ist r(x) nicht irreduzibel.

Für p(x) folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3[x]/(p(x)) \end{eqnarray*}$ ein Körper ist und weil $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3[x] \end{eqnarray*}$ ein kommutativer Ring mit Einselement ist, ist das äuivalent dazu, dass (p(x)) ein maximales Ideal ist.

Bei q(x) und r(x) weiß ich jetzt aber immer noch nicht, ob die von ihnen erzeugten Ideale maximal sind?

b) habe ich nun auch versucht, zu lösen, aber mir ist das unklar. Die Definition mit den Nebenklassen usw. verstehe ich, aber wie ich da jetzt konkret vorgehen muss, weiß ich nicht. Erstaunt2

Erstaunt2

18.05.2017, 19:07

Elvis

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zu a) Ein quadratisches reduzibles Polynom muss einen linearen Faktor haben, also eine Nullstelle, deshalb ist $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel. Für reduzible Polynome benötigt man keine Nullstellen, es kann z.B. ein Polynom 5. Grades in ein Polynom 3. Grades und ein Polynom 2. Grades zerfallen. $\begin{eqnarray*} (x+1)^2=(x+1)\cdot (x+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2=x\cdot x \end{eqnarray*}$ zeigt, dass diese Polynome nichttriviale Faktoren haben, also reduzibel sind. Nun ist immer $\begin{eqnarray*} Rab\subset Ra\subset R \end{eqnarray*}$ für Nichteinheiten $\begin{eqnarray*} a,b \in R \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (a)|(ab) \end{eqnarray*}$ und insbesondere $\begin{eqnarray*} (a)|(a^2) \end{eqnarray*}$ , deswegen können $\begin{eqnarray*} (q(x)),(r(x)) \end{eqnarray*}$ nicht maximal sein.

zu b) $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[x]/(x^2+1)=\{0,1,2,x,1+x,2+x,2x,1+2x,2+2x\}\cong \mathbb F_9 \end{eqnarray*}$ als Körper mit $\begin{eqnarray*} x^2=2 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[x]/(x^2+1)\cong F_3^2 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ -Vektorraum. klar ?
$\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[x]/(x^2)=\{0,1,2,x,1+x,2+x,2x,1+2x,2+2x\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^2=0 \end{eqnarray*}$ hat Nullteiler $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , kann also kein Körper sein. Du darfst dir noch überlegen, was $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[x]/(x) \end{eqnarray*}$ ist.
Genau so mit $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[x]/((x+1)^2) \end{eqnarray*}$ .
(Ich habe in den Mengen immer Elemente statt Restklassen geschrieben, du musst dir stets einen Querstrich darüber denken ODER das erzeugende Polynom dazu addieren ODER $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ ersetzen (die letzte Möglichkeit ist die beste)).

19.05.2017, 14:58

Studentu

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Danke für deine hilfreiche Antwort, Elvis!

a) Habe ich jetzt wie folgt aufgeschrieben:
Ein quadratisches reduzibles Polynom muss einen linearen Faktor haben, also eine Nullstelle, deshalb ist p(x) irreduzibel, denn p(x) hat keine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} (x+1)^2 = (x+1)\cdot (x+1) \Rightarrow q(x) \text{ lässt sich als Produkt nichttrivialer Faktoren schreiben } \Rightarrow q(x) \text{ist reduzibel} \end{eqnarray*}$ ; gleiche Begründung für r(x)
Frage: Die trivialen Faktoren sind ja jene Elemente, die in der Äquivalenzklasse des Einheitselementes liegen. Wären das in diesem Fall dann $\begin{eqnarray*} 1 \text{ und }2 \text{ weil 2 in }\mathbb{Z}_3 -1 \text{ entspricht }? \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} (x+1)|((x+1)^2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} ((x+1)^2)\nmid (x+1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow ((x+1)^2)\subsetneq ((x+1)) \subseteq\mathbb{Z}_3[x] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x)\mid(x^2), (x^2)\nmid (x) \Leftrightarrow (x^2)\subsetneq(x)\subseteq \mathbb{Z}_3[x] \end{eqnarray*}$ können (q(x)), (r(x)) nicht maximal sein.

Weil p(x) irreduzibel ist, ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3[x]/(p(x)) \end{eqnarray*}$ ein Körper und weil $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3[x] \end{eqnarray*}$ ein kommutativer Ring mit Einselement ist, ist das äquivalent dazu, dass (p(x)) maximales Ideal ist.

b) Hier ist mir nun klar, dass die Faktorringe für p(x) und r(x) so ausschauen, wie du geschrieben hast. Wofür steht denn die Notation als "F"?
Die Isomorphie zum Quadrat des $\begin{eqnarray*} F_3 \end{eqnarray*}$ -Vektorraumes ist mir noch unklar. Aber ich vermute, dass in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$ die Elemente {0,1,2} liegen und die Elemente aus dem Faktorring sind ja genau die Kreuzprodukte davon, nur mit x dabei?....
Und ist es Absicht, dass die Notation als Vektorraum sich von jener als Körper unterscheidet?
Wenn ich in den Restklassen das x durch $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ ersetze, muss ich dann noch genauer angeben, wofür $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ steht oder ist das eine übliche Schreibweise für Restklassen?

Bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3[x]/(q(x)) \end{eqnarray*}$ bin ich mir unsicher, wie die Elemente aussehen. Ich habe mir überlegt, dass $\begin{eqnarray*} (x+1)^2=0\Leftrightarrow x^2+2x=2\Leftrightarrow x^2=x+2 \end{eqnarray*}$ . Damit erhalte ich dann genau die gleichen Elemente für den Faktorring wie auch für die anderen beiden, stimmt das? Und es handelt sich nicht um einen Körper, weil der Faktorring den Nullteiler (x+1) enthält.

c) Hier habe ich noch nichts.

d) $\begin{eqnarray*} R/(p(x)) \end{eqnarray*}$ kann weder zu $\begin{eqnarray*} R/(q(x)) \end{eqnarray*}$ noch zu $\begin{eqnarray*} R/(r(x)) \end{eqnarray*}$ isomorph sein, weil ersterer Faktorring keinen Nullteiler hat und die anderen beiden schon.
$\begin{eqnarray*} R/(q(x))\cong R/(r(x)) \end{eqnarray*}$ , und ein Isomorphismus ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} x+1\mapsto x \end{eqnarray*}$ und weitere Abbildungsvorschriften, die mit den üblichen Operationen verträglich sein müssen. Hier weiß ich allerdings nicht weiter.

19.05.2017, 18:09

Elvis

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Ich habe die übliche Notation $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3=\mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ für den endlichen Körper mit 3 Elementen benutzt. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ sieht man manchmal auch, gefällt mir aber nicht. Wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[x]/(x^2+1) \end{eqnarray*}$ als Körper auffasst, hat man in diesem Körper eine Addition und eine Multiplikation. Wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[x]/(x^2+1) \end{eqnarray*}$ als Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ auffasst, hat man dieselbe Addition, aber nur eine skalare Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} 0,1,2 \end{eqnarray*}$ .

Es gibt bis auf Isomorphie genau einen endlichen Körper mit 9 Elementen, er wird konstruiert als $\begin{eqnarray*} \mathbb F_9=\mathbb F_3[x]/(f(x)) \end{eqnarray*}$ mit einem irreduziblen Polynom $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ vom Grad 2. Es gibt mehrere irreduzible Polynome zu jedem Grad, aber man bekommt immer denselben Körper, und dieser ist immer eine einfache Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb F_9=\mathbb F_3(\theta) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\theta)=0 \end{eqnarray*}$ . Also ist hier zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \theta^2+1=0 \end{eqnarray*}$ ; wenn das nicht zur Verwirrung führt, kann man auch $\begin{eqnarray*} x^2+1=0 \end{eqnarray*}$ schreiben, das ist aber nicht ganz korrekt, richtig muss es heißen $\begin{eqnarray*} \overline x^2+\overline 1=(x+\mathbb F_3[x](x^2+1))^2+\overline 1=\overline 0 \end{eqnarray*}$

Wenn man nach einem quadratischen Polynom $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ faktorisiert, bekommt man immer einen Ring mit diesen 9 Elementen. Die Ringe unterscheiden sich nur dadurch, dass die Multiplikation vom quadratischen Polynom abhängt, denn es ist $\begin{eqnarray*} f(\overline x)=\overline 0 \end{eqnarray*}$ .

(c) haben wir schon geklärt.

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20.05.2017, 09:30

Elvis

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Nachtrag : Die Unterscheidung zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m=\mathbb Z/m\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb F_m=\mathbb F_{p^n} \end{eqnarray*}$ muss man machen, weil zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_9=\mathbb Z/9\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein Ring mit Nullteiler 3 ist (beachte $\begin{eqnarray*} 3^2=3\cdot 3=9=0 \end{eqnarray*}$ ), der hier betrachtete Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_9=\mathbb F_{3^2} \end{eqnarray*}$ aber wie jeder Körper nullteilerfrei sein muss. Das sind also völlig verschiedene algebraische Strukturen.

20.05.2017, 15:38

Studentu

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Danke für deine Erklärungsbemühungen!
Ich würde dazu Folgendes noch gerne genauer wissen:

<<Wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[x]/(x^2+1) \end{eqnarray*}$ als Körper auffasst, hat man in diesem Körper eine Addition und eine Multiplikation. Wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[x]/(x^2+1) \end{eqnarray*}$ als Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ auffasst, hat man dieselbe Addition, aber nur eine skalare Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} 0,1,2 \end{eqnarray*}$ >>
Wieso kann man bei der Auffassung als Vektorraum nicht auch Vektorraumelemente miteinander multiplizieren? Auffassung als Körper ist mir, glaube ich, klar, da nehme ich die Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[x]/(x^2+1) \end{eqnarray*}$ als Grundmenge und verlange, dass die charakteristischen Körpereigenschaften erfüllt sind. Folgt die Auffassung als Vektorraum ebenso aus der Definition?

<<Es gibt bis auf Isomorphie genau einen endlichen Körper mit 9 Elementen, er wird konstruiert als $\begin{eqnarray*} \mathbb F_9=\mathbb F_3[x]/(f(x)) \end{eqnarray*}$ mit einem irreduziblen Polynom $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ vom Grad 2.>>
Ist das wichtiges Elementarwissen? Gibt es vergleichbare Aussagen für andere Gradzahlen?
Ist es richtig, dass man mit reduziblen Polynome keine Körper bilden kann, weil sie ja keine maximalen Ideale sind (siehe Satz aus meinem ersten Beitrag)?

<<Wenn man nach einem quadratischen Polynom $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ faktorisiert, bekommt man immer einen Ring mit diesen 9 Elementen. Die Ringe unterscheiden sich nur dadurch, dass die Multiplikation vom quadratischen Polynom abhängt, denn es ist $\begin{eqnarray*} f(\overline x)=\overline 0 \end{eqnarray*}$ .>>
Gibt es vergleichbare Aussagen auch für Polynome anderen Grades und $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ bzw. überhaupt andere $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ?

Nach wie vor unklar sind mir folgende Fragen:
<<Die trivialen Faktoren sind ja jene Elemente, die in der Äquivalenzklasse des Einheitselementes liegen. Wären das in diesem Fall dann $\begin{eqnarray*} 1 \text{ und }2 \text{ weil 2 in }\mathbb{Z}_3 -1 \text{ entspricht }? \end{eqnarray*}$ >>
Wie man die Begründung für $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[x]/(x^2+1)\cong F_3^2 \end{eqnarray*}$ nun korrekt formuliert?

c) haben wir geklärt, stimmt. Ich hatte eigentlich gemeint, dass ich zu d) noch nichts habe. Hast du zu d) eine Idee?

e) << $\begin{eqnarray*} R/(p(x)) \end{eqnarray*}$ kann weder zu $\begin{eqnarray*} R/(q(x)) \end{eqnarray*}$ noch zu $\begin{eqnarray*} R/(r(x)) \end{eqnarray*}$ isomorph sein, weil ersterer Faktorring keinen Nullteiler hat und die anderen beiden schon.>>
Außerdem kann es keinen Isomorphismus zwischen einem Körper und Faktorringen, die keine Körper sind, geben, richtig?
<< $\begin{eqnarray*} R/(q(x))\cong R/(r(x)) \end{eqnarray*}$ >>
<<Die Ringe unterscheiden sich nur dadurch, dass die Multiplikation vom quadratischen Polynom abhängt, denn es ist $\begin{eqnarray*} f(\overline x)=\overline 0 \end{eqnarray*}$ .>>
Wie ich nun einen konkreten Isomorphismus zwischen $\begin{eqnarray*} R/(q(x)), R/(r(x)) \end{eqnarray*}$ finde, weiß ich noch nicht?

20.05.2017, 18:28

Elvis

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1. per def kann man in einem Körper addieren und multiplizieren. per def kann man in einem Vektorraum addieren und skalar multiplizieren. Multiplikation von Vektoren ist Unfug. Sollte zufällig eine weitere Operation (Multiplikation) in einem Vektorraum möglich sein, die den Vektorraum zu einem Ring macht, so spricht man von einer Algebra.
Was in einer Menge jeweils möglich ist, kann man nicht der allgemeinen Definition entnehmen. Man muss mit der Menge arbeiten und geeignete Operationen finden, definieren und benutzen.

2. Zu jeder Primzahl gibt es genau einen endlichen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Darüber gibt es zu jeder natürlichen Zahl $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ genau einen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_q=\mathbb F_{p^n}=\mathbb F_p[x]/(f(x)) \end{eqnarray*}$ mit einem irreduziblen Polynom $\begin{eqnarray*} f(x)\in \mathbb F_p[x] \end{eqnarray*}$ vom Grad n.
Für ein reduzibles Polynom $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)h(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (f(x))=f(x)\mathbb F_p[x] \end{eqnarray*}$ nicht maximal, weil $\begin{eqnarray*} f(x)\mathbb F_p[x] \subset g(x)\mathbb F_p[x] \subset \mathbb F_p[x] \end{eqnarray*}$ (das gilt für jeden Körper K).

3. Faktorisierung funktioniert immer so. Ist $\begin{eqnarray*} f(x)\in\mathbb F_p[x] \end{eqnarray*}$ vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p[x]/(f(x))=\{a_0+a_1\theta+a_2\theta^2+...+a_{n-1}\theta^{n-1}:a_k\in\mathbb F_p\} \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} f(x)=b_0+b_1x+...+x^n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \theta^n=-b_0-b_1\theta-...-b_{n-1}\theta^{n-1} \end{eqnarray*}$ (das gilt für jeden Körper K). Ist $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)h(x) \end{eqnarray*}$ reduzibel, so sind diese Elemente nicht algebraisch unabhängig, d.h. $\begin{eqnarray*} \theta^m=... \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} m<n \end{eqnarray*}$ .

4. über d) und e) habe ich noch nicht nachgedacht. wenn mir dazu noch etwas einfällt, melde ich mich. Du hast schon mal recht, dass ein Ring, der kein Körper ist, nicht isomorph zu einem Körper sein kann.

20.05.2017, 20:00

Elvis

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$\begin{eqnarray*} h:R\to R, x\mapsto x+1 \end{eqnarray*}$ scheint mir ein eindeutig bestimmter Ringautomorphismus zu sein. Mir deucht, dass $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ einen Isomorphismus der hier betrachteten Faktorringe induziert.
(Wir nennen das "Elvis-Vermutung 1/2017" und "Elvis-Vermutung 2/2017" Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Jetzt habe ich aber keine Lust mehr, weiter darüber nachzudenken. Mach du mal und gib Rückmeldung. Oder warte, bis dich jemand mit der richtigen Antwort versorgt und gib dann Rückmeldung.

21.05.2017, 15:35

Studentu

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Hallo Elvis, deine Elvis-Vermutung 2/2017 klingt plausibel, auch wenn ich sie noch zeigen muss.
Danke für deine Beiträge, ich hoffe, du oder jemand anderer können mir noch helfen.
Wie nämlich die Abbildung $\begin{eqnarray*} x \mapsto x+1 \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus sein kann, verstehe ich nicht. Da wird doch das Nullelement dann nicht auf das Nullelement abgebildet, weil das Nullelement in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ das Nullpolynom, also f(x)=0 ist, aber dieses dann auf f(x)=1 abgebildet wrid?

21.05.2017, 17:49

Elvis

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$\begin{eqnarray*} h(\sum_{k=0}^na_kx^k)=\sum_{k=0}^na_k(x+1)^k \end{eqnarray*}$ , dann ist ganz gewiss $\begin{eqnarray*} h(0)=0 \end{eqnarray*}$

26.05.2017, 14:24

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Studentu

a) Habe ich jetzt wie folgt aufgeschrieben:
Ein quadratisches reduzibles Polynom muss einen linearen Faktor haben, also eine Nullstelle, deshalb ist p(x) irreduzibel,...

Vorsicht, das gilt in dieser Allgemeinheit nicht! Beispielsweise bei Polynomen in $\begin{align*} \mathbb Z[X] \end{align*}$ dann, wenn diese normiert sind bzw. beim höchstwertigen Monom eine Einheit als Koeffizienten haben. Es kann aber auch ein gemeinsamer konstanter Faktor aller Koeffizienten der Monome des Polynoms zur Reduzibilität führen. Bei einem Polynomring $\begin{align*} K[X] \end{align*}$ über einem Körper $\begin{align*} K \end{align*}$ stimmt die Aussage allerdings, da der Koeffizient des höchtwertigen Monoms automatisch eine Einheit ist und alle anderen Koeffizienten durch diese Einheit teilbar sind.

31.05.2017, 17:35

Studentu

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Danke für eure Beiträge!
Über RavenOnJs Hinweis muss ich erst noch nachdenken. Den Homomorphismus habe ich aber bereits wie folgt genauer angeschaut:
Um zu zeigen, dass Elvis' Abbildung ein Homomorphismus ist, habe ich die Verträglichkeit mit der Polynomaddition gezeigt:
$\begin{eqnarray*} h((\sum_{k=0}^n a_k x^k) + (\sum_{j=0}^m b_j x^j)) = h(\sum_{k=0}^{max\{n,m\}}(a_k + b_k)x^k) = \sum_{k=0}^{max\{n,m\}}(a_k+b_k)(x+1)^k = \sum_{k=0}^n a_k (x+1)^k + \sum_{j=0}^m b_k(x+1)^k = h(\sum_{k=0}^n a_k x^k)+ h(\sum_{j=0}^m b_j x^j) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_k = 0 \forall k > n, \text{ falls } m> n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k = 0 \forall k>m, \text{ falls } n > m \end{eqnarray*}$
Dass die Abbildung tatsächlich das Nullpolynom auf das Nullpolynom abbildet, habe ich so gezeigt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k x^k = 0 \; \forall x \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ \Rightarrow $\begin{eqnarray*} a_k = 0 \forall k \in [0, n] \Rightarrow \sum_{k=0}^n a_k(x+1)^k = 0 \; \forall x \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \Rightarrow h(\sum_{k=0}^n a_k x^k) \end{eqnarray*}$ ist das Nullpolynom
Ist das soweit korrekt?

Nun müssen noch die Injektivität, Surjektivität und Eindeutigkeit gezeigt werden. Zur Surjektivität und Injektivität habe ich folgende Ideen (bei der Eindeutigkeit stehe ich leider völlig an):
Surj.: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k x^k \in ran(h) \Rightarrow \sum_{k=0}^n a_k (x-1)^k \in R \end{eqnarray*}$ . Wie begründet man, dass letztere Aussage erfüllt ist?
Inj.: Angenommen, h(f) = g(f) für ein $\begin{eqnarray*} f \in R \end{eqnarray*}$ und einen Ringhomomorphismus g. Dann kann ich für x verschiedene Werte einsetzen und erkenne, dass Zur Gewährleistung der Gültigkeit der entstehenden Gleichungen die Koeffizienten von h(f) gleich denen von g(f) sein müssen.
Ist dieser Ansatz korrekt? Wie kann man ihn weiter ausführen?

31.05.2017, 17:54

Elvis

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Die Additivität von h ist im wesentlichen richtig (kleiner Indexfehler). Etwas zu umständlich formuliert, man lässt bei solchen Beweisen die Polynomgrade einfach weg und einigt sich darauf, dass die Summen endlich sind. Zu beweisen wäre noch die Multiplikativität, denn h soll ja ein Ringhomomorphismus sein, das dürfte aber mit dem Cauchyprodukt kein Problem sein (wenn es denn stimmt).

Zum Nullpolynom: $\begin{eqnarray*} h(0)=h(\sum_k0X^k)=\sum_k0(X+1)^k=\sum_k0X^k=0 \end{eqnarray*}$ (auch hier sieht man den Vorteil, den Grad einfach wegzulassen). Man darf sich nicht auf eine Polynomfunktion beziehen, indem man $\begin{eqnarray*} \forall x\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ schreibt.

31.05.2017, 18:01

Studentu

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Achso, danke für deine schnelle Antwort, Elvis! Dann ist meine Idee zur Injektivität auf jeden Fall mal falsch.
Ist es Absicht, dass du ein "X" statt "x" geschrieben hast? Inwiefern macht das einen Unterschied?
Die Multiplikativität schaue ich mir gleich an.

31.05.2017, 18:42

Studentu

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Die Verträglichkeit mit der Multiplikation sieht nun so aus:
$\begin{eqnarray*} h((\sum_k a_k x^k)(\sum_j b_j x^j)) = h(\sum_n(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k})x^n) = \sum_n \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}(x+1)^n = \sum_k a_k (x+1)^k \sum_j b_j(x+1)^j = h(\sum_k a_k x^k)h(\sum_j b_j x^j) \end{eqnarray*}$
Muss man dann icht auch noch zeigen, dass das Einspolynom auf das Einspolynom abgebildet wird? Das würde nämlich dann Schwierigkeiten machen, nicht?

Bei den anderen zu zeigenden Punkten weiß ich leider immer noch nicht weiter.

31.05.2017, 18:50

Elvis

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$\begin{eqnarray*} h(1)=h(1+0*X)=1+0(X+1)=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ändert keine Konstanten, $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ändert nur Potenzen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$

01.06.2017, 18:30

Studentu

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Hat jemand noch einen Hinweis, wie man Injektivität, Surjektivität und Eindeutigkeit zeigt, bzw. was von meinem Ansatz brauchbar ist?

02.06.2017, 08:11

Elvis

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Haben wir den Faden verloren? Ich bin sicher, es hilft, wenn Du noch einmal die Behauptung exakt formuliert und dann überlegst, was im einzelnen zu zeigen ist.

02.06.2017, 15:32

Studentu

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Also die Aufgabe ist ja, alle Homomorphismen $\begin{eqnarray*} h: \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[x] \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[x] \end{eqnarray*}$ , die h(x)=x+1 erfüllen, zu finden und anzugeben, wieviele solche es gibt und wieviele von ihnen Automorphismen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[x] \end{eqnarray*}$ sind.

Zur Lösung möchten wir nun Elvis-Vermutungen 1/2017 und dann 2/2017 für die Abbildung $\begin{eqnarray*} h: \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, h(x)=x+1 \end{eqnarray*}$ zeigen.

1.) Mir ist immer noch nicht klar, ob und inwiefern es einen Unterschied mahct, ob ich da in den Polynomen große oder kleine X schreibe.

Um zu zeigen, dass h ein Homomorphismus ist, haben wir bereits bewiesen, dass das Nullelement auf das Nullelement und das Einselement auf das Einselement abgebildet werden und, dass h verträglich mit Addition und Multiplikation ist.

Ein Automorphismus von R ist ein Isomorphismus von R nach R.
Das heißt, wir müssen noch zeigen, dass der Homomorphismus bijektiv ist (und zudem, dass er eindeutig ist).

2.) Was ich nicht verstehe, ist, wie ich aus der Angabe (also Homom. mit h(x)=x+1) erkenne, dass gemeint ist $\begin{eqnarray*} h(\sum_ka_kX^k)=\sum_ka_k(X+1)^k \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} h(\sum_ka_kX^k) = \sum_ka_kX^k +1 \end{eqnarray*}$ ?

3.) Eindeutigkeit: ang. $\begin{eqnarray*} \exists g: R \rightarrow R, g(\sum_ka_kX^k)=\sum_ka_k(X+1)^k \end{eqnarray*}$ . Dann folgt automatisch $\begin{eqnarray*} h(\sum_ka_kX^k)=\sum_ka_k(X+1)^k=g(\sum_ka_kX^k) \end{eqnarray*}$ , also h=g.

4.) zu Injektivität und Surjektivität ist mir leider noch nichts Neues eingefallen

02.06.2017, 18:29

Elvis

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1.) Über endlichen Körpern stimmt der Polynomring $\begin{eqnarray*} K[X]=\{\sum_{k=0}^na_kX^k\} \end{eqnarray*}$ nicht mit dem Ring der polynomialen Funktionen $\begin{eqnarray*} f:K\to K, x\mapsto \sum_{k=0}^na_kx^k \end{eqnarray*}$ überein. Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} X\ne X^3 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[X] \end{eqnarray*}$ , aber für die Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x=f(x)=g(x)=x^3(\forall x\in\mathbb F_3) \end{eqnarray*}$ . Deshalb unterscheide ich zwischen der Unbestimmten $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ in Polynomen und den Körperelementen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die ich in Polynome einsetzen kann, um eine Funktion zu beschreiben.

2.) $\begin{eqnarray*} h:\mathbb F_3[X]\to\mathbb F_3[X] \end{eqnarray*}$ soll ein Ring-Homomorphismus sein, also muss für alle Ringelemente $\begin{eqnarray*} A,B\in \mathbb F_3[X] \end{eqnarray*}$ gelten $\begin{eqnarray*} h(A+B)=h(A)+h(B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(AB)=h(A)h(B) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ ist ein Teilring von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[X] \end{eqnarray*}$ und das Polynom $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[X] \end{eqnarray*}$ , also gilt für alle Polynome $\begin{eqnarray*} h(\sum_{k=0}^na_kX^k)=\sum_{k=0}^nh(a_k)h(X)^k=\sum_{k=0}^na_k(X+1)^k \end{eqnarray*}$

3.) wie du richtig bemerkt hast, ist damit der Homomorphismus eindeutig festgelegt.

4.) $\begin{eqnarray*} h(\sum_{k=0}^na_kX^k)=h(\sum_{k=0}^nb_kX^k)\Rightarrow \sum_{k=0}^na_k(X+1)^k=\sum_{k=0}^nb_k(X+1)^k \end{eqnarray*}$
Vielleicht kannst du nun die Injektivität beweisen, indem du die Binomialentwicklung von $\begin{eqnarray*} (X+1)^k \end{eqnarray*}$ durchführst.

5.) Surjektiv. Hat eventuell der Homomorphismus $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(X)=X-1=X+2 \end{eqnarray*}$ eine Chance, die Umkehrung von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ zu sein ?

Nachtrag 1: Man könnte auch argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} K[X]=K[Y]=K[X+1] \end{eqnarray*}$ ist, dann wird $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ offensichtlich ein Isomorphismus. Physiker nennen das Koordinatentransformation. Ich bin aber nicht ganz sicher, ob das mich oder dich oder sonst jemanden restlos überzeugt.

Nachtrag 2: Ich glaube zu erinnern, dass mein Professor im Jahre 1977 das Eisenstein-Kriterium auf ein Polynom $\begin{eqnarray*} h(p(X))=p(X+1) \end{eqnarray*}$ angewandt hat, weil es nicht auf $\begin{eqnarray*} p(X) \end{eqnarray*}$ anwendbar war, und dann hat er daraus auf die Irreduzibilität von $\begin{eqnarray*} p(X) \end{eqnarray*}$ geschlossen. Er durfte das, denn er war ein Genie; wir dürfen das nicht, denn wir sind keine Genies. Wenn $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist, dann dürfen wir das auch, und ich habe endlich verstanden, warum wir das dürfen. smile

smile

Fragt sich nur, welche Transformationen auf welche Polynome über welchen Ringen man anwenden darf, um einen Isomorphismus zu bekommen ... $\begin{eqnarray*} aX+b,a\ne 0 \end{eqnarray*}$ für Polynome über Körpern ? ... oder über Ringen ?? ... oder noch allgemeinere Transformationen ??? verwirrt

verwirrt

03.06.2017, 21:14

Studentu

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Danke Elvis,
1.) und 2.) habe ich nun verstanden smile

smile

zu 4.)
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^na_k (X+1)^k = \sum_{k=0}^n b_k (X+1)^k \Longleftrightarrow \sum_{k=0}^n a_k \sum_{j=0} ^k \binom{k}{j}X^j 1^{k-j}=\sum_{k=0}^n b_k \sum_{j=0} ^k \binom{k}{j}X^j 1^{k-j} \Longleftrightarrow \sum_{k=0}^n a_k \sum_{j=0} ^k \binom{k}{j}X^j=\sum_{k=0}^n b_k \sum_{j=0} ^k \binom{k}{j}X^j \end{eqnarray*}$
Wie wir daraus nun $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^na_k X^k = \sum_{k=0}^n b_k X^k \end{eqnarray*}$ folgern, sehe ich noch nicht. Wenn man z.B. n=0 setzt, dann erhält man die Gleichheit von $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ . Ich denke, das könnte man dann fortsetzen, und mit Induktion die Gleichheit für alle Koeffizienten folgern. Klingt das sinnvoll oder geht es anders auch?

5.) Surjektivität: Ja, das sieht mir sehr nach einer Umkehrung aus. (: Aber wenn ich zeige, dass wir eine Umkehrabbildung von h haben, dann folgt doch gleich die Bujektivität, also müssten wir Injektivität gar nicht extra zeigen oder?

zu Nachtrag 2: Genialität liegt im Auge des Betrachters Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.06.2017, 22:13

Elvis

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5. Ja, schadet nicht, wenn es zur Abwechslung auch einmal einen einfachen Beweis gibt.
Nachtrag 2: Genialität ist ein objektiver Begriff!

04.06.2017, 18:33

Studentu

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Stimmt, also die Bijektivität erhalten wir dann wie folgt:
Beh.: g: $\begin{eqnarray*} R \rightarrow R, g(x)=x-1=x+2 \end{eqnarray*}$ ist die Umkehrabbildung von h(x).
Bew.: $\begin{eqnarray*} g(h(\sum_k a_k X^k))=g(\sum_k a_k (X+1)^k) = \sum_k a_k (X+3)^k = \sum_k a_k X^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(g(\sum_k a_k X^k)) = h(\sum_k a_k (X+2)^k) = \sum_k a_k (X+3)^k = \sum_k a_k X^k \end{eqnarray*}$
Die Existenz einer Umkehrabbildung von h ist nun äquivalent zur Bijektivität von h und damit ist h ein - wie wir schon gezeigt haben: eindeutiger - Automorphismus und das Beispiel gelöst smile

smile

Vielen Dank, Elvis!!! Tanzen

Tanzen

Nachtrag 2: dann waren deine Einfälle zur Lösung der Aufgabe objektiv genial Freude

Freude

04.06.2017, 18:38

Elvis

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Danke, aber ich weiß, dass ich nicht genial bin. Ich hatte die Ehre, ein Genie persönlich kennen zu lernen. Das bißchen rechnen beruht auf nichts als Fleiß, Ausdauer und etwas Erfahrung.

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