Exponentialgleichung lösen

16.05.2017, 16:05

Finkle

Exponentialgleichung lösen

Hallo liebes Matheboard smile

ich hab eine eigentlich simple Aufgabe zu lösen, habe mich aber wohl irgendwo verrechnet und komme jetzt nicht mehr weiter :P

Gefragt ist die Lösung fuer x in der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 4^x+4 = 2^{x+2} + 2^x \end{eqnarray*}$

Meine Schritte:
Logarithmieren
$\begin{eqnarray*} lg(4^x)+lg(4) = lg(2^{x+2}) + lg(2^x) \end{eqnarray*}$
Dann Logarithmusgesetze anwenden:
$\begin{eqnarray*} x*lg(4)+lg(4) = (x+2)*lg(2) + x*lg(2) \end{eqnarray*}$

Wegen lg(4) = lg(2*2) gilt doch auch lg(4) = lg(2)+lg(2)? Dann muesste doch auch gelten:

$\begin{eqnarray*} x*lg(2) + x*lg(2) +lg(2) + lg(2) = (x+2)*lg(2) + x*lg(2) \end{eqnarray*}$
Zusammengefasst
$\begin{eqnarray*} 2x*lg(2) +2*lg(2) = (x+2)*lg(2) + x*lg(2) \end{eqnarray*}$

Dann die rechte Seite der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 2x*lg(2) +2*lg(2) = x*lg(2) + 2*lg(2) + x*lg(2) \end{eqnarray*}$
Verrechnen
$\begin{eqnarray*} 2x*lg(2) +2*lg(2) = 2*lg(2) + 2x*lg(2) \end{eqnarray*}$

Und jetzt habe ich auf beiden Seiten das gleiche stehen und bin verwirrt.

Wie kommt WolframAlpha auf eine Loesungsmenge von (0,2)?

Vielen Dank schonmal fuer die sicher hilfreichen Arschtritte smile

16.05.2017, 16:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Finkle
$\begin{eqnarray*} lg(4^x)+lg(4) = lg(2^{x+2}) + lg(2^x) \end{eqnarray*}$

Schon verk...kt: Es gibt keine Rechenregel $\begin{align*} \lg(a+b)\stackrel{?}{=}\lg(a)+\lg(b) \end{align*}$ . unglücklich

Substituiere stattdessen $\begin{align*} y=2^x \end{align*}$ unter Beachtung von $\begin{align*} 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = y^2 \end{align*}$ .

16.05.2017, 16:18

Finkle

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Das verstehe ich jetzt nicht ganz. Ich habe doch nur die Terme der Originalaufgabe logarithmiert? Dass es die Regel nicht gibt, weiss ich, die heisst ja lg(a*b) = lg(a) + lg(b), aber die habe ich doch gar nicht verwendet.

Aber schonmal vielen Dank fuer den Hinweis, ich probiere es mit der Substitution!

16.05.2017, 16:34

Mathema

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Du kannst doch nicht einzelne Terme einer Gleichung logarithmieren und dann behaupten, dass die Gleichheit immer noch gilt. Wenn die linke Seite gleich der rechten Seite ist, dann ist der Logarithmus der linken Seite gleich dem Logarithmus der rechten Seite. Wenn du also beginnst mit "Logarithmieren" steht da:

$\begin{eqnarray*} 4^x+4 = 2^{x+2} + 2^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg(4^x+4) = \lg(2^{x+2} + 2^x) \end{eqnarray*}$

Und wenn du dann beginnst mit

Zitat:

$\begin{eqnarray*} lg(4^x)+lg(4) = lg(2^{x+2}) + lg(2^x) \end{eqnarray*}$

dann hast du leider die falsche Regel benutzt, die HAL dir aufgeschrieben hat - da gibt es nichts zu leugnen!

16.05.2017, 19:09

Finkle

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Mensch, das ist mir jetzt peinlich, zumal ich es in der Aufgabe davor noch richtig gemacht habe und den gesamten Ausdruck logarithmiert habe Hammer

Vielen Dank euch, auch der Tipp mit dem Substituieren war Gold wert, nach dem Resubstituieren durch den Logarithmus dualis komme ich auch zu dem Ergebnis x1=2, x2=0

Vielen Dank!! Mit Zunge

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