Nachtwächter und Schlüssel

18.05.2017, 16:46	J4cks0n	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachtwächter und Schlüssel Meine Frage: Hi, Ein Nachtwächter muss im Dunkeln eine Tür öffnen. Er trägt an seinem Schlüsselbund n ? N Schlüssel von denen nur einer passt. Der Nachtwächter probiert zufällig einen Schlüssel nach dem anderen durch, ohne dabei einen Schlüssel zweimal zu verwenden. Es bezeichne X die Anzahl der notwendigen Versuche bis der Nachtwächter den richtigen Schlüssel gefunden hat. (a) Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\Omega,P) \end{eqnarray}$ an, um dieses Zufallsexperiment zu beschreiben. (b) Beschreiben Sie X als Zufallsvariable auf ? und bestimmen Sie P(X=i) für alle i=1,...,n. Danke für die Hilfe :-D) Meine Ideen: ich hätte hier von hinten angefangen und zuerst W-keiten berechnet (mithilfe eines Baumdiagramms) Es kommt $\begin{eqnarray} P(X=1) = 1/n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} P(X=2) = \frac{n-1}{n} \frac{1}{n-1} = 1/n, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X=2) = \frac{n-1}{n} \frac{n-2}{n-1} \frac{1}{n-2}= 1/n \end{eqnarray*}$ usw d.h. P(X=i)=1/n für alle n aber wie schreibe ich das Formal hin dass es richtig ist?
18.05.2017, 17:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, das geht als Lösungsweg schon so in Ordnung (im Gegensatz zu den Copy+Paste-Fragezeichen in der Aufgabenstellung). Eine andere denkbare Interpretationsvariante ist die: Da die Entnahmereihenfolge der Schlüssel unabhängig von der Kenntnis erfolgt, welcher der richtige ist, ist dieser richtige Schlüssel diskret gleichverteilt unter den Entnahmeschlüsseln $\begin{align} 1,2,\ldots,n \end{align}$ verteilt. Seine Nummer in dieser Reihenfolge entspricht dann auch genau der Zufallsgröße $\begin{align} X \end{align}$ .

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