Ideal

18.05.2017, 21:56

LemmenMen

Ideal

Sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ungerade Primzahl und sei
$\begin{eqnarray*} I_{p}:=\left\{ a+b\cdot\sqrt{3}\middle|\quad p|a\text{ und }p|b\right\} \subset S_{1} \end{eqnarray*}$ .

Dabei war $\begin{eqnarray*} S_{1}=\left\{ a+b\cdot\sqrt{3}\middle|a,b\in\mathbb{Z}\right\} \subset\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} I_p \end{eqnarray*}$ ein Ideal von $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ ist.

Es ist also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} I+I\subset I \end{eqnarray*}$ gilt.

Sei $\begin{eqnarray*} i,i'\in I_p \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} (a+b\cdot \sqrt{3}) + (a'+b'\cdot \sqrt{3}) = (a+a') + (b+ b') \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ .

Es bleibt noch zu zeigen, dass gilt $\begin{eqnarray*} p| (a+a') \text{ und } p|(b+b') \end{eqnarray*}$

Ich weiss ja, dass gilt $\begin{eqnarray*} p|a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p|b \end{eqnarray*}$ sowie, $\begin{eqnarray*} p'|a' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p'|b' \end{eqnarray*}$

d.h es gibt $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} p \cdot x = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p'\cdot y = a' \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} a+a`= px+p'y \end{eqnarray*}$

und das bringt mich grade irgendwie nicht weiter. Ich muss nur noch zeigen, dass eben $\begin{eqnarray*} a+a' \end{eqnarray*}$ ebenfalls durch eine ungerade Primzahl geteilt wird.

Mh hat jmd. vll einen kleinen Denkanstoß für mich verwirrt

18.05.2017, 22:06

LemmenMen

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Hat sich bereits erledigt.

19.05.2017, 08:12

Elvis

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a+a' wird nicht durch eine beliebige ungerade Primzahl geteilt, sondern offenbar durch p. Das gilt auch für b+b'. (Teilbarkeit ist eine Kongruenzrelation.)

Zitat:

Original von LemmenMen
Ich weiss ja, dass gilt $\begin{eqnarray*} p|a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p|b \end{eqnarray*}$ sowie, $\begin{eqnarray*} p'|a' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p'|b' \end{eqnarray*}$

Da steckt der Fehler, es gilt nach Definition von $\begin{eqnarray*} I_p \end{eqnarray*}$ vielmehr $\begin{eqnarray*} p|a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p|b \end{eqnarray*}$ sowie, $\begin{eqnarray*} p|a' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p|b' \end{eqnarray*}$

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