Ziehen aus einer multivariaten Normalverteilung mit Hilfe einer Transformation

18.05.2017, 22:47	Tenacious	Auf diesen Beitrag antworten »
Ziehen aus einer multivariaten Normalverteilung mit Hilfe einer Transformation Hallo zusammen, es geht hauptsächlich um die Unterschiede zwischen Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Multivaria...he_distribution) und meinem Vorlesungsskript (und warum nur die Methode von Wiki bei mir funktioniert). Angenommen ich möchte 1000 Daten aus einer multivariaten Normalverteilung ziehen mit Kovarianzmatrix $\begin{eqnarray} \Sigma = \begin{pmatrix}4.64917 & 2.0675 \\ 2.0675 & 1.9425 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und Mittelwert $\begin{eqnarray} \mu = (3,4)^T \end{eqnarray}$ (willkürlich gewählt). Dann kann ich laut Wiki eine Matrix $\begin{eqnarray} A = U\Lambda ^\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ bestimmen wobei in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ die Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} \Sigma \end{eqnarray}$ und in $\begin{eqnarray} \Lambda^\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ die Wurzel der Eigenwerte auf der Diagonalen stehen. Anschließend ziehe ich 1000 Werte aus einer multivariaten Standardnormalverteilung und kann diese mit $\begin{eqnarray} \mu + Az \end{eqnarray}$ transformieren. Das klappt auch soweit, denn wenn ich aus dem transformierten Sample Mittelwert und Kovarianzmatrix berechne, dann ähneln diese sehr meinen gewünschten Parametern. Nun zur Transformation aus meiner Vorlesung mit der es angeblich auch funktionieren soll. Wir hatten dort gezeigt, dass man mit einer Matrix $\begin{eqnarray} A = U\Lambda ^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ Matrix der Eigenvektoren und $\begin{eqnarray} \Lambda ^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Kehrwerte der Wurzel der Eigenwerte auf der Diagonalen, eine beliebige Kovarianzmatrix in die Einheitsmatrix überführen kann. Demzufolge müsste mir die Inverse ja die Umkehrung liefern und ich kann mit $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ standardnormalverteilte Werte in meine gewünschten Werte umwandeln. Die Methode klappt jedoch nicht so ganz, im Gegensatz zur ersten Methode. Weiß jemand wo hier mein Denkfehler ist? Bzw. wie hängen die beiden Ansätze überhaupt zusammen?
19.05.2017, 08:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zäumen wir das Pferd von der anderen Seite auf: Ist $\begin{align} Z \end{align}$ ein standardnormalverteilter Vektor mit unabhängigen Komponenten, dann kann man für $\begin{align} X=\mu + AZ \end{align}$ berechnen. $\begin{align} E(X) = \mu \end{align}$ $\begin{align} \operatorname{cov}(X) = E((X-E(X))(X-E(X))^T) = AE(ZZ^T)A^T = AA^T \end{align}$ . D.h., es muss am Ende $\begin{align} AA^T=\Sigma \end{align}$ gelten, sonst stimmt das Verfahren nicht. Auf $\begin{align} A=U\Lambda^{\frac{1}{2}} \end{align}$ trifft das zu, sofern $\begin{align} U \end{align}$ eine Orthogonalmatrix von Eigenvektoren ist, d.h., sie müssen auch normiert sein - diese wichtige Normierungsbedingung fehlt übrigens bei dir, ohne die gilt das hier notwendige $\begin{align} U^T = U^{-1} \end{align}$ nicht! Deine zweite Methode hast du nur sehr undeutlich beschrieben: Ich lese das mal so, dass du $\begin{align} B=U\Lambda^{-\frac{1}{2}} \end{align}$ bildest, und dann mit $\begin{align} A=B^{-1} \end{align}$ die Transformation $\begin{align} X=\mu+AZ \end{align}$ durchziehen willst? Das klappt natürlich nicht, denn für dieses $\begin{align} A=\left(U\Lambda^{-\frac{1}{2}}\right)^{-1} = \Lambda^{\frac{1}{2}}U^T \end{align}$ gilt ja $\begin{align} AA^T = \Lambda^{\frac{1}{2}}U^T U \Lambda^{\frac{1}{2}} = \Lambda^{\frac{1}{2}} \Lambda^{\frac{1}{2}} = \Lambda \end{align}$ , damit hast du nichts gekonnt. Wenn du schon mit der Inversen arbeiten willst, dann mit $\begin{align} B=\Lambda^{-\frac{1}{2}}U^T \end{align}$ .

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