Rekursive Folgendarstellung --> Explizite Darstellung

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Rekursive Folgendarstellung --> Explizite Darstellung
Meine Frage:
Hallo liebe Mathefreunde,

ich benötige beim vervollständigen folgender Aufgabe Hilfe:

Es sind zwei Folgen in rekusrisver Form angegeben, und die expliziten Dartellungen sollen nachgewiesen weren.

Die zwei Folgen sind:


für n größer gleich 1


für n größer gleich 1

Zu zeigen ist, dass für alle natürlichen Zahlen gilt:














Meine Ideen:
Die explizite Form für die Folge zu zeigen ist nicht schwer und auch sieht auf den ersten Blick nicht schwer aus. Ich habe aber Probleme dabei den Bruch für die Anzahl der d's zu bestimmen.

Wenn ich nachher die b's mal runterschreibe erhalte ich ja:













Die Anzahl der a's ist also leicht mit (n+1) ersichtlich. Ich weiß nur nicht, wie ich vernünftig auf die Form des Bruches für die d's kommen sollen.

Vielen Dank für Eure Zeit und Mühe !
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

sowas beweist man mit vollständiger Induktion.
Der Spitzname Auf diesen Beitrag antworten »

Ach tatsächlich habe ich es jetzt ebn bereits herausgefunden.
Und das per Induktion zu beweisen halte ich für weniger sinnvoll. Es geht ja bei der Aufgabe darum zu Üben aus rekursiv definiterten Folgen explizite Darstellungen zu bekommen. Wenn ich die Lösung nicht hätte, würde ich das ja auch anders machen.

Jedenfalls kann man einfach hingehen und sich angucken, was ist und auch die folgenden b (n-1) , b (n-2) Glieder und so weiter bis b1 herunter schreiben und sieht dann schnell, wie viele d's und a's dabei zusammenkommen.
Also in der Form



Hier sieht man die Anzahl der d's entspricht: 1 + 2 + 3 + ... + n , und das ergibt den Bruch

Aber trotzdem danke Wink
Der Spitzname Auf diesen Beitrag antworten »

Beziehunsgweise kann es natürlich sein, dass du daraus hinaus wolltest, also dass man es so runterschreibt und dann klassisch per Induktion der Gleichheit der Summe und des Bruches zeigt.

Sry für den Doppelpost, editieren kann ich wohl nicht. Gott
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Oben im Post steht etwas davon, dass du diese Darstellung nachweisen willst, nicht dass du sie finden willst.

Zum Nachweis brauchst du ein Beweisverfahren. Sich anhand von Beispielen eine Heuristik zu überlegen, ist kein Beweis. Zum Nachweis brauchst du hier vollständige Induktion oder die Kenntnis von bestimmten Summenformeln.
Der Spitzname Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du natürlich Recht. Danke für deine Hilfe. Freude
 
 
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