Bernoulli random walk

20.05.2017, 20:12

Sabbse92

Bernoulli random walk

Seien $\begin{eqnarray*} \{X_i, i\in \mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$ unabängige Zufallsvariabel mit Werte in $\begin{eqnarray*} \{-1,1\} \end{eqnarray*}$ und so dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(X_k=1)=p \quad \mathbb{P}(X_k=-1)=1-p=:q \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} S_n:=\sum_{k=1}^nX_k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} S_0=0 \end{eqnarray*}$ (Bernoulli random walk).

- Berechnen Sie den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X_k) \end{eqnarray*}$ und die Varianz $\begin{eqnarray*} V(X_k) \end{eqnarray*}$

- Berechnen Sie den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mathbb E(S_n|S_0=0) \end{eqnarray*}$

- Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} V(S_n|S_0=0)=4npq \end{eqnarray*}$ .

zur ersten Teilaufgabe:

- $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X_k)= \sum_{i=0}^N i \mathbb{P}(X_k=i) \end{eqnarray*}$

Um die Summe zu bilden muss ich $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(X_k=i) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariablen für 1,-1 ist nach Definition p,q. Trotzdem weiß ich nicht so recht wie ich diese Teilaufgabe lösen soll, geschweige denn die anderen

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen

20.05.2017, 20:33

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sabbse92
- $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X_k)= \sum_{i=0}^N i \mathbb{P}(X_k=i) \end{eqnarray*}$

Völlig falscher Indexbereich: Die Summation $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X_k)= \sum_{i} i \mathbb{P}(X_k=i) \end{eqnarray*}$ läuft über diejenigen Werte $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , die die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ überhaupt annehmen kann. Und das sind hier nicht $\begin{eqnarray*} i=0,1,\ldots,N \end{eqnarray*}$ (übrigens: was soll dabei überhaupt dieses $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ sein Erstaunt1

), sondern $\begin{eqnarray*} i\in \{-1,1\} \end{eqnarray*}$ . Es ist also

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(X_k)= \sum_{i\in\{-1,1\}} i \mathbb{P}(X_k=i) = (-1)\cdot \mathbb{P}(X_k=-1) + 1\cdot \mathbb{P}(X_k=1) \end{eqnarray*}$ .

20.05.2017, 20:54

Sabbse92

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, ich hatte zu beginn gezweifelt welchen Indexbereich ich wählen sollte und habe dann einfach die allg. Definition aus der Vorlesung hingeschrieben. Damit wäre die erste Teilaufgabe gelöst.

Zweite Teilaufgabe:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(S_n|S_0=0) \end{eqnarray*}$ das zusätzliche $\begin{eqnarray*} S_0=0 \end{eqnarray*}$ bedeutet doch, dass ich bei 0 Starte oder?

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(S_n|S_0=0)=\sum i \mathbb{P}(S_n=i|S_0=0) \end{eqnarray*}$

Auch hier bin ich mir wieder unsicher welchen Indexbereich ich wählen muss. S_n ist eine Summe von Zufallsvariablen die alle den Wert 1,-1 annehmen können. S_n gibt mir also an, wie weit ich Vor- oder Zurückgegangen bin. Dann müsste die Summe von -n bis n laufen oder?

20.05.2017, 21:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde diese Angabe als bedingte Wahrscheinlichkeiten im vorliegenden Fall einigermaßen sinnlos, da $\begin{align*} P(S_0=0)=1 \end{align*}$ ist, d.h., die Bedingung $\begin{align*} S_0=0 \end{align*}$ ist immer erfüllt, und somit $\begin{align*} P(A \mid S_0=0) = P(A) \end{align*}$ für alle Ereignisse $\begin{align*} A \end{align*}$ gültig, man kann also auch gleich $\begin{align*} E(S_n) \end{align*}$ statt $\begin{align*} E(S_n \mid S_0=0) \end{align*}$ schreiben. Augenzwinkern

Zur eigentlichen Berechnung: Die Formel $\begin{align*} E(S_n) = \sum_i i\cdot P(S_n=i) \end{align*}$ zur Berechnung zu nehmen ist nicht sehr effizient. Nutze besser die Linearität des Erwartungswerts, denn für $\begin{align*} S_n = \sum_{k=1}^n X_k \end{align*}$ gilt damit ja $\begin{align*} E(S_n) = \sum_{k=1}^n E(X_k) \end{align*}$ , und du kannst die Ergebnisse der vorherigen Teilaufgaben nutzen. Genauso gilt $\begin{align*} V(S_n) = \sum_{k=1}^n V(X_k) \end{align*}$ , dies allerdings dann nur unter der zusätzlichen Bedingung der Unabhängigkeit der $\begin{align*} X_k \end{align*}$ , welche hier in der Tat vorliegt.

20.05.2017, 21:41

Heisenberg93

Auf diesen Beitrag antworten »

Falls du verstehen willst was du da genau ausrechnest, solltest du dir mal was zum RandomWalk durchlesen.

20.05.2017, 21:44

Sabbse92

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mit der Linearität ist natürlich praktisch.

Kannst du mir bitte erklären warum $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(S_0=0)=1 \end{eqnarray*}$ . Warum es sich also um ein fast sicheres Ereignis handelt.

$\begin{eqnarray*} \mathbb E (S_n)= \sum_{k=1}^{n} \mathbb E (X_k) = \sum_{k=1}^{n} (-1) \cdot \mathbb P(X_k=-1) + 1 \cdot \mathbb P(X_k=1) = n \cdot (-q +p) = n \cdot \mathbb E(X_k) \end{eqnarray*}$

Das müsste dann die Lösung für die zweite Teilaufgabe sein

20.05.2017, 21:46

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sabbse92
Kannst du mir bitte erklären warum $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(S_0=0)=1 \end{eqnarray*}$ .

Da gibt's nichts zu erklären, denn davon gehst du ja bereits aus:

Zitat:

Original von Sabbse92
Sei $\begin{eqnarray*} S_n:=\sum_{k=1}^nX_k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} {\color{red}S_0=0} \end{eqnarray*}$

Es ist also nicht nur "fast sicher", sondern "sicher". Augenzwinkern

20.05.2017, 21:53

Sabbse92

Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Varianz zu bestimmen muss ich den folgenden Ausdruck korrekt ausschreiben

$\begin{eqnarray*} \mathbb \sum_{k=1}^{n}\mathbb E(X_k ^2)= \sum_{k=1}^n \sum_{i \in \{-1,1\}} i \mathbb P(X_k^2=i) \end{eqnarray*}$

Die Verkettung von zwei Zufallsvariabeln ist nicht definiert?

20.05.2017, 22:02

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist $\begin{eqnarray*} E(g(X_k))= \sum_{i \in \{-1,1\}} g(i) \mathbb P(X_k=i) \end{eqnarray*}$ für eine beliebige Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , im Fall von $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} E(X_k^2)= \sum_{i \in \{-1,1\}} i^2 \mathbb P(X_k=i) \end{eqnarray*}$ . Allerdings kannst du das hier auch kürzer haben, denn wegen $\begin{eqnarray*} X_k\in \{-1,1\} \end{eqnarray*}$ gilt ja $\begin{eqnarray*} X_k^2=1 \end{eqnarray*}$ und somit kurz und knapp $\begin{eqnarray*} E(X_k^2) = E(1)=1 \end{eqnarray*}$ .

Außerdem dachte ich, du hast $\begin{eqnarray*} V(X_k) \end{eqnarray*}$ oben schon ausgerechnet (war ja in der ersten Teilaufgabe gefordert), und dann kannst du das ganze ja via

Zitat:

Original von HAL 9000
Genauso gilt $\begin{align*} V(S_n) = \sum_{k=1}^n V(X_k) \end{align*}$ , dies allerdings dann nur unter der zusätzlichen Bedingung der Unabhängigkeit der $\begin{align*} X_k \end{align*}$ , welche hier in der Tat vorliegt.

kürzer haben. Augenzwinkern

20.05.2017, 22:32

Sabbse92

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh, dass hatte ich übersehen Hammer

$\begin{eqnarray*} \mathbb {V} (X_k)=\mathbb {E} (X_k^2) - \mathbb {E} (X_k)^2 = 1- (-1 + 2p)^2=1- 1 - 4p +4p^2= 4(p^2-p) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{V}(X_k)=1- p^2 -2pq + q^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb {V}(S_n) \sum_{k=1}^n \mathbb V(X_k) = (1- p^2 -2pq + q^2)^n \end{eqnarray*}$

Darauf müsste ich jetzt den binomischen Lehrsatz anwenden oder habe ich mich irgendwo verrechnet?
Es muss am Ende ja 4npq rauskommen.

20.05.2017, 22:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sabbse92
$\begin{eqnarray*} \mathbb {V} (X_k)=\mathbb {E} (X_k^2) - \mathbb {E} (X_k)^2 = 1- (-1 + 2p)^2=1- 1 - 4p +4p^2= 4(p^2-p) \end{eqnarray*}$

Da rächt es sich gnadenlos, dass du die Klammern vorzeitig "weggelassen" hast. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} \mathbb {V} (X_k)=\mathbb {E} (X_k^2) - \mathbb {E} (X_k)^2 = 1- (-1 + 2p)^2=1- {\color{red}(}1 - 4p +4p^2{\color{red})}= 4(p-p^2) = 4p(1-p) = 4pq \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Sabbse92
$\begin{eqnarray*} \mathbb {V}(S_n) \sum_{k=1}^n \mathbb V(X_k) = (1- p^2 -2pq + q^2)^n \end{eqnarray*}$

Wieso $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Potenz? Wenn man ein- und denselben Wert $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -fach summiert, dann kommt dieser Wert multipliziert mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ heraus. unglücklich

20.05.2017, 22:51

Sabbse92

Auf diesen Beitrag antworten »

.... Gutes Auge smile

Natürlich muss ich nur mit n multiplizieren. Sitze schon zu lange an den Aufgaben Augenzwinkern

Vielen lieben Dank für deine tolle Unterstützung!

Neue Frage »

Antworten »

Bernoulli random walk

Verwandte Themen