Spline-Polynom, Teilintervalle

21.05.2017, 09:30

8A-Maria9

Spline-Polynom, Teilintervalle

Meine Frage:
Guten Morgen,

ich bräuchte einen Tipp bei der Aufgabe a) und ein kurzes Feedback ob meine b) richtig ist, weil ich mir unsicher bin.

Die Aufgabe lautet:
Es soll das Spline-Polynom $\begin{eqnarray*} f(x):= s_0 = 3,2 + 0,05(x-1,5) -0,15(x+1,5)^3 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} I_0 = [-1,5 | -0,5] \end{eqnarray*}$ integriert werden. Rechnen Sie mit vier signifikanten Stellen.

Aufgabe a) und b) befinden sich auf dem Scan.

Meine Ideen:
Aufgabe b) habe ich soweit gelöst. Ich habe die Formel der zusammengesetzten Trapezregel angewendet und ausgewertet. Ich war mir eig nur an einer Stelle unsicher. Und zwar muss ich doch in der Summe für jedes $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ dazuaddieren?

Aufgabe a) da habe ich die Schrittweite in die Fehlerformel eingesetzt und wollte der Anzahl der benötigten Teilintervalle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auflösen. Ich weiß jedoch nicht was ich für das $\begin{eqnarray*} f''(c) \end{eqnarray*}$ einsetzen soll?

Wenn ich das hätte könnte ich die Anzahl der Teilintervalle bestimmen. Da ich es jedoch nicht weiß, komme ich an der Stelle nicht weiter.

Ich hoffe soweit alles verständlich und lesbar dargestellt zu haben und wäre überglücklich und dankbar für Hinweise zu meiner Problemeliminierung.

Grüße

Anamaria

21.05.2017, 19:09

svloga

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

eine Sache vorweg: In deinem Beitrag verwendest du eine andere Funktion als in deinem Anhang (0.05*(x-1.5) bzw. 0.05*(x+1.5)), ich nehme mal an, die Funktion im Anhang stimmt.

Zu a)
Beim Fehler wird allgemein immer von "schlimmsten" ausgegangen, also der größtmöglichste Wert von f(x) eingesetzt. Da die 2. Ableitung durch den Polynomgrad 3 eine Gerade ist, brauchst du nur die Randstellen a und b betrachten, dazwischen gibt es ja keine Extremstellen mehr (ansonsten wären diese auch noch zu untersuchen, z.B. bei einem Grad von 4 oder höher). Dort dann den betragsmäßig(!) größten Wert einsetzen. Deine Idee mit dem Umformen nach n ist richtig, bei n wird dann aufgerundet. Mit dem neuen n kann dann wieder eine korrigierte Schrittweite h berechnet werden.

Zu b)
Oben rechts hast du die zusammengesetzte Trapezregel (auch summierte Sehnen-Trapez-Regel) richtig aufgeschrieben, bei deiner Berechnung weiter unten hast du dich mit den Klammern vertan. Es wird nur die Summe über die xj gebildet und mit 2 multipliziert, nicht noch das f(b)! Das kann man sich auch anschaulich klar machen: Die Randstellen a und b gehen nur einfach in die Berechnung ein, während jede Zwischenstelle zweimal eingeht -> Beispiel: a x1 x2 b -> Berechnungsweise: a->x1, x1->x2, x2->b, ergibt das Muster "1 2 2 1".
Wenn du also die Berechnung korrigierst, dann sollte auch ein anderer Wert herauskommen, der näher am wahren Wert liegt.

Viel Erfolg!

22.05.2017, 08:21

8A-Maria9

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von svloga
eine Sache vorweg: In deinem Beitrag verwendest du eine andere Funktion als in deinem Anhang (0.05*(x-1.5) bzw. 0.05*(x+1.5)), ich nehme mal an, die Funktion im Anhang stimmt.

Ja genau das Spline-Polynom im Anhang ist korrekt es soll: $\begin{eqnarray*} f(x):= s_0 = 3,2 + 0,05(x+1,5) -0,15(x+1,5)^3 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} I_0 = [-1,5 | -0,5] \end{eqnarray*}$ integriert werden. Sorry für die Verwirrung, ein Versäumnis meinerseits.

Zitat:

Original von svloga
Zu a)
Deine Idee mit dem Umformen nach n ist richtig, bei n wird dann aufgerundet. Mit dem neuen n kann dann wieder eine korrigierte Schrittweite h berechnet werden.

Ja. Das Problem ist irgendwie habe ich es noch nicht verstanden wie ich das $\begin{eqnarray*} f''(c) \end{eqnarray*}$ behandeln soll. In der Lösung wurde auch aufgerundet und es kam ein aufgerundeter Wert $\begin{eqnarray*} n=240 \end{eqnarray*}$ heraus.

Umgestellt stehe ich an der Stelle: $\begin{eqnarray*} \sqrt{|\frac{(b-a)^3}{6 \cdot \epsilon} \cdot f''(c)|}-2 \leq n \end{eqnarray*}$

Soll ich wirklich die Funktion zwei mal ableiten und dort jeweils den Rand $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ einsetzen? Oder wie ist das gemeint?

Zitat:

Original von svloga
Zu b)
Oben rechts hast du die zusammengesetzte Trapezregel (auch summierte Sehnen-Trapez-Regel) richtig aufgeschrieben, bei deiner Berechnung weiter unten hast du dich mit den Klammern vertan. Es wird nur die Summe über die xj gebildet und mit 2 multipliziert, nicht noch das f(b)!

Ahso, ist ja eigentlich logisch, danke für den Hinweis. Freude

Ich habe es mal korrigiert.
Dann komme ich auf den Wert: $\begin{eqnarray*} \approx \frac 18 (3,2 + 2(-1,25-1-0,75+3,1)) = 0,425 \end{eqnarray*}$

Herzlichen Dank für die Antwort,

Grüße

Anamaria

22.05.2017, 08:54

svloga

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja genau so ist es für die a) gemeint, Randstellen einsetzen, gucken welcher Wert betragsmäßig am größten ist und diesen dann nehmen. Da die Funktion bei -1.5 eine Nullstelle hat, brauchst du -1.5 eigentlich gar nicht einsetzen, sondern nur die -0.5.

Die b stimmt noch immer nicht, hatte aber auch eine Sache übersehen: Eingesetzt werden muss natürlich f(x) (wie in der Formel zu sehen), du setzt aber die berechneten Werte f(x1), f(x2) und f(x3) gar nicht ein, sondern nur die x1, x2 ,x3. Richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \cdot \left(3.2+2 \cdot \left(3.2102+3.2063+3.1742\right)+3.1 \right)=3.185 \end{eqnarray*}$

22.05.2017, 12:53

8A-Maria9

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von svloga
ja genau so ist es für die a) gemeint, Randstellen einsetzen, gucken welcher Wert betragsmäßig am größten ist und diesen dann nehmen. Da die Funktion bei -1.5 eine Nullstelle hat, brauchst du -1.5 eigentlich gar nicht einsetzen, sondern nur die -0.5.

Ja $\begin{eqnarray*} f(-1,5) = 3,2 \end{eqnarray*}$ da die Klammerterme zu null werden.
$\begin{eqnarray*} f(-0,5) = 3,1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von svloga
Die b stimmt noch immer nicht, hatte aber auch eine Sache übersehen: Eingesetzt werden muss natürlich f(x) (wie in der Formel zu sehen), du setzt aber die berechneten Werte f(x1), f(x2) und f(x3) gar nicht ein, sondern nur die x1, x2 ,x3. Richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \cdot \left(3.2+2 \cdot \left(3.2102+3.2063+3.1742\right)+3.1 \right)=3.185 \end{eqnarray*}$

Das stimmt natürlich, jetzt ist es richtig.

Ich komme jedoch bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{|\frac{(b-a)^3}{6 \cdot \epsilon} \cdot f''(c)|}-2 \leq n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f''(3,1) = -4,14 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 829 \leq n \end{eqnarray*}$

Das ist nicht mit der Lösung übereinstimmend verwirrt

Danek für die erneute Antwort,

Grüße

Anamaria

22.05.2017, 21:00

svloga

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dem Fehler in a) geht es doch um die zweite Ableitung, nicht um die Funktion selbst. Und wenn du f(x) zweimal ableitest, fällt der konstante Term vorne (3.2) ja eh weg und es bleibt übrig:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-0.9\cdot\left(x+1.5\right) \end{eqnarray*}$
Hier sieht man ja direkt, dass bei x=-1.5 0 rauskommt und bei x=-0.5 wird der Klammerterm zu 1 und es bleibt die -0.9 übrig (betragsmäßig dann eben 0.9). Also: $\begin{eqnarray*} f''(b)=f''(-0.5)=-0.9 \end{eqnarray*}$ .

Dein Umstellen der Formel nach n hat nicht ganz geklappt. Das (n+2)^2 deutet auf die 1. Binomische Formel hin, die hast du nicht angewendet. Gleichzeitig bedeutet diese quadratische Gleichung, dass es für n zwei Lösungen gibt. Probier das mit dem Umstellen nochmal, es sollte am Ende herauskommen:
$\begin{eqnarray*} n^{2}+4n-149996=0 \end{eqnarray*}$ mit den Lösungen $\begin{eqnarray*} n_{1}=385.3, n_{2}=-389.3 \end{eqnarray*}$ . (Streng genommen in der Formel natürlich nicht =, sondern wenn <= bzw. >=).

23.05.2017, 09:51

8A-Maria9

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von svloga
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-0.9\cdot\left(x+1.5\right) \end{eqnarray*}$
Hier sieht man ja direkt, dass bei x=-1.5 0 rauskommt und bei x=-0.5 wird der Klammerterm zu 1 und es bleibt die -0.9 übrig (betragsmäßig dann eben 0.9). Also: $\begin{eqnarray*} f''(b)=f''(-0.5)=-0.9 \end{eqnarray*}$ .

Ja das stimmt natürlich hatte irgendwie was vertauscht, damit bin ich jetzt einverstanden. Danke.

Zitat:

Original von svloga
Dein Umstellen der Formel nach n hat nicht ganz geklappt. Das (n+2)^2 deutet auf die 1. Binomische Formel hin, die hast du nicht angewendet. Gleichzeitig bedeutet diese quadratische Gleichung, dass es für n zwei Lösungen gibt. Probier das mit dem Umstellen nochmal, es sollte am Ende herauskommen:
$\begin{eqnarray*} n^{2}+4n-149996=0 \end{eqnarray*}$ mit den Lösungen $\begin{eqnarray*} n_{1}=385.3, n_{2}=-389.3 \end{eqnarray*}$ . (Streng genommen in der Formel natürlich nicht =, sondern wenn <= bzw. >=).

Hm. Ich hatte die Idee, das $\begin{eqnarray*} (n+2)^2 \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite zu bringen und dann die Wurzel ziehen, die Wurzel liefert natürlich zwei Lösungen.

Also von Anfang an:
$\begin{eqnarray*} |\frac{(b-a)^3}{6 \cdot (n+2)^2} \cdot f''(c)| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |\frac{(b-a)^3}{6 \cdot (n^2 + 4n + 4)} \cdot f''(c)| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Man kann aber auch direkt so umformen:
$\begin{eqnarray*} |\frac{(b-a)^3}{6 \cdot \epsilon} \cdot f''(c)| \leq (n+2)^2 \end{eqnarray*}$

Dann sieht man, dass die Lösung der binomischen Formel die doppelte Nullstelle $\begin{eqnarray*} n=-2 \end{eqnarray*}$ ist.

Jedenfalls geht es so wohl am Einfachsten:
$\begin{eqnarray*} 150000 \leq (n+2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 149996 \leq n^2 + 4n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2 +4n - 149996 \leq 0 \end{eqnarray*}$

Das liefert mir dann die gleichen Lösungen wie die im Beitrag davor geposteten.

Dann bräuchten wir 386 Schritte? Weil die negative Lösung macht ja keinen Sinn?

Danke für die Hilfe, ohne diese hätte ich mich an der ein oder anderen Stelle wie im Labyrinth verlaufen und würde nicht weiterkommen.

Grüße

Anamaria

23.05.2017, 18:16

svloga

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 8A-Maria9
Hm. Ich hatte die Idee, das $\begin{eqnarray*} (n+2)^2 \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite zu bringen und dann die Wurzel ziehen, die Wurzel liefert natürlich zwei Lösungen.
Grüße

Anamaria

Jo geht natürlich auch, sorry fürs Verwirren Augenzwinkern

Stimmt n=386 denn mit der Lösung überein? Wenn nicht, dann wüsste ich gerade nicht wo der Fehler liegen sollte.

Rest passt ja dann.

24.05.2017, 08:14

8A-Maria9

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von svloga
Jo geht natürlich auch, sorry fürs Verwirren Augenzwinkern

Kein Problem, viele Wege führen bekanntlich nach Rom und es ist gut nicht nur einen zu kennen smile

Zitat:

Original von svloga
Stimmt $\begin{eqnarray*} n=386 \end{eqnarray*}$ denn mit der Lösung überein? Wenn nicht, dann wüsste ich gerade nicht wo der Fehler liegen sollte.

Zitat:

Original von 8A-Maria9
In der Lösung wurde auch aufgerundet und es kam ein aufgerundeter Wert $\begin{eqnarray*} n=240 \end{eqnarray*}$ heraus.

Also $\begin{eqnarray*} n=386 \end{eqnarray*}$ sollte stimmen. Habe die Rechnung noch mal überprüft und sollte richtig sein. In der Lösung scheint sich ein Rechenfehler eingeschlichen zu haben, daher sollen die $\begin{eqnarray*} n=386 \end{eqnarray*}$ richtig sein.

Zitat:

Original von svloga
Rest passt ja dann.

Jupp. Ich danke noch mal für die Zusammenarbeit hat mir sehr geholfen,

bis bald

Anamaria

Neue Frage »

Antworten »

Spline-Polynom, Teilintervalle

Verwandte Themen