Schnittpunkt zweier e-Funktionen

23.05.2017, 15:02

WindSwordWielder

Schnittpunkt zweier e-Funktionen

Meine Frage:
Ich habe 2 Funktionen gegeben:
f(x)= $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$
g(x)= $\begin{eqnarray*} 4-3e^{-0,5x} \end{eqnarray*}$

Von diesen beiden Funktionen will ich den Schnittpunkt finden, aber es kommt nie das richtige Ergebnis raus.

Meine Ideen:
Ich habe schon probiert, es direkt per natürlichen Logarithmus umzuformen, davor auch mit $\begin{eqnarray*} e^{0,5x} \end{eqnarray*}$ erweitert, aber nichts klappt.

23.05.2017, 15:16

Steffen Bühler

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RE: Schnittpunkt zweier e-Funktionen
Willkommen im Matheboard!

Substituiere $\begin{align*} z=e^{0,5x} \end{align*}$ .

Kommst Du jetzt weiter?

Viele Grüße
Steffen

23.05.2017, 17:40

WindSwordWielder1

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RE: Schnittpunkt zweier e-Funktionen
@Steffen, nein, da ich dann immer noch beim selben Problem bin. Geben sie die beiden Funktionen in einen Funktionsplotter ein und sie sehen, dass die Graphen sich bei x=bisschen größer als 2 schneiden sollten. Bei ihrem Vorschlag kommt x=0 raus.

(Nicht wegen dem Namenswechsel wundern, musste mir einen neuen Account erstellen)

23.05.2017, 17:48

Steffen Bühler

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RE: Schnittpunkt zweier e-Funktionen
Beim Substituieren entsteht eine quadratische Gleichung mit den üblichen zwei Lösungen. Eine davon ist in der Tat Null, die andere etwas größer als 2:

Wie sieht Deine quadratische Gleichung denn aus?

Kein Problem mit dem neuen Account, der alte wird dann demnächst gelöscht.

23.05.2017, 18:10

WindSwordWielder1

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RE: Schnittpunkt zweier e-Funktionen
Achso, ich habe es falsch verstanden. Ich habe nur die Ausgangsfunktionen substituiert.
Jetzt habe ich alles um $\begin{eqnarray*} e^{0.5x} \end{eqnarray*}$ erweitert und das dann substituiert. Dann kommt tatsächlich eine quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} -z^2+4z-3 \end{eqnarray*}$ raus. Aber die Ergebnisse mit der Mitternachtsformel sind dann 1 und 3, was nicht stimmen kann.

23.05.2017, 18:13

Steffen Bühler

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RE: Schnittpunkt zweier e-Funktionen
Doch, Du musst nur noch resubstituieren.

Viele Grüße
Steffen

23.05.2017, 18:23

WindSwordWielder1

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RE: Schnittpunkt zweier e-Funktionen
Beim Resubstituieren kriege ich ganz andere Ergebnisse heraus.

23.05.2017, 18:43

mYthos

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Welche? Schreibe kurz den Rechengang!

23.05.2017, 19:05

WindSwordWielder1

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(I) $\begin{eqnarray*} e^{0.5x} \end{eqnarray*}$
(II) $\begin{eqnarray*} 4-3e^{-0.5x} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} e^{0.5x} \end{eqnarray*}$ erweitert

(I) $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$
(II) $\begin{eqnarray*} 4e^{0.5x}-3 \end{eqnarray*}$

Substitution: $\begin{eqnarray*} z=e^{0.5x} \end{eqnarray*}$

daraus die quadratische Gleichung

$\begin{eqnarray*} -z^2+4z-3=0 \end{eqnarray*}$

Mitternachtsformel: z1=1 und z2=3.

Resubstitution: z1: $\begin{eqnarray*} 1=e^{0.5x} \end{eqnarray*}$ ==> x=0
z2: $\begin{eqnarray*} 3=e^{0.5x} \end{eqnarray*}$ ==> $\begin{eqnarray*} ln 3 = 0.5x \end{eqnarray*}$ ==> $\begin{eqnarray*} x=2*ln 3 \end{eqnarray*}$ , was bisschen mehr als 2 ergibt.

Ok, ich habe nen Denkfehler eben gehabt. Vielen Dank an Steffen Bühler für die sehr nette und detaillierte Hinführung und mYthos für die Anregung, es nochmal zu überprüfen (ich habe es falsch gerechnet gehabt zuerst)!!

23.05.2017, 19:44

mYthos

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Zitat:

Original von WindSwordWielder1
...
Resubstitution: z1: $\begin{eqnarray*} 1=e^{0.5x} \end{eqnarray*}$ ==> x=0
z2: $\begin{eqnarray*} 3=e^{0.5x} \end{eqnarray*}$ ==> $\begin{eqnarray*} ln 3 = 0.5x \end{eqnarray*}$ ==> $\begin{eqnarray*} x=2*ln 3 \end{eqnarray*}$ , was bisschen mehr als 2 ergibt.
...

Ja, sehr schön.
Und übrigens, $\begin{eqnarray*} 2 \ln 3 = ln 9 \end{eqnarray*}$ Big Laugh

mY+

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