Funktionen auf Stetigkeit überprüfen |
| 23.05.2017, 19:32 | KunstFan | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Funktionen auf Stetigkeit überprüfen ich darf mich mit folgender Aufgabe auseinandersetzen: Sind die folgenden, auf ganz R definierten Funktionen stetig? Wenn nicht, gebe man die Unstetigkeitsstellen an! a) f(x)= -x/2 für x<0 2x für 0<=x<=1 x+1 für x>0 b) f(x)= x^3+1 für x<-1 x^2 für -1<=x<=1 2x-1 für x>1 Leider habe ich das nicht so schön in Latex hingekriegt, aber ich hoffe dennoch, dass man erkennt was ich meine. Tatsächlich habe ich keinerlei Idee, wie ich das hier anpacken muss. Hat jemand einen Hinweis für mich? LG |
||
| 23.05.2017, 20:52 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du kannst z.B. die Graphen in dem gegenständlichen Intervall erstellen und schauen, ob irgendwo Lücken oder Sprungstellen vorhanden sind ... --> Definition der Stetigkeit nachlesen --> Grenzwert bestimmen mY+ |
||
| 23.05.2017, 21:15 | KunstFan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für den Hinweis! Muss ich mir dann jeweils den linksseitigen, als auch den rechtsseitigen Grenzwert anschauen? |
||
| 24.05.2017, 15:01 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das sollte man. Sprungstellen werden damit näher beschrieben und bei Polstellen kann festgestellte werden, ob ein VZW (Vorzeichenwechsel) stattfindet oder nicht. mY+ |
||
| 24.05.2017, 15:20 | KunstFan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, wie genau muss ich das denn machen? Was genau muss ich mir denn angucken? Muss ich mir anschauen wie sich -x^2/2 verhält wenn x gegen minus unendlich strebt? |
||
| 24.05.2017, 16:08 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Schau zum Beispiel, was die erste Funktion bei x=0 macht, indem Du x=0 in die links- und rechtsseitige Funktionsvorschrift einsetzt. Ist der Wert identisch, ist die Funktion dort auch stetig, sie "springt" also nicht. Und dann immer so weiter. Viele Grüße Steffen |
||
| Anzeige | ||
|
|
||
| 24.05.2017, 17:12 | KunstFan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für deine Antwort. Also: setze ich x=0 in -x/2 ein, erhalte ich 0, setze ich x=0 in x+1 ein, erhalte ich 1. Also ist die Funktion nicht stetig?! Wie gebe ich nun die Unstetigkeitsstelle korrekt an? Was passiert mit der mittleren Funktionsvorschrift? Darf man die ignorieren? Viele Grüße |
||
| 24.05.2017, 17:19 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mir scheint eher, dass Dein "x+1 für x>0" in Wirklichkeit "x+1 für x>1" heißen soll. Sonst wäre die Funktion ja nicht eindeutig definiert. Also geht es um den Vergleich zwischen -x/2 und der mittleren Vorschrift 2x an der Stelle x=0. Und da ist alles in Ordnung. |
||
| 24.05.2017, 17:39 | KunstFan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie notiert man denn diese Unstetigkeitsstelle korrekt? Schreibt man einfach, dass der links- und der rechtsseitige Grenzwert nicht identisch sind?! Kann ich nun bei der b) genauso verfahren oder muss ich da noch etwas besonderes beachten? |
||
| 24.05.2017, 20:02 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, so würde ich es machen, und bei b auch. Viele Grüße Steffen |
||
| 24.05.2017, 20:17 | KunstFan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gut. Dann habe ich für b) auch raus, dass es nicht stetig ist, da links und rechtsseitiger grenzwert nicht übereinstimmen, stimmts? |
||
| 25.05.2017, 08:14 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du scheinst nicht alles geprüft zu haben. Es gibt jeweils zwei kritische Stellen bei a und b, wo die Funktion springen könnte! Schreib da den jeweils linken und rechten Grenzwert auf. Dann siehst Du's. |
||
| 25.05.2017, 08:58 | KunstFan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Guten Morgen, das verstehe ich leider nicht. Ich habe angenommen, ich müsste nur die beiden äußeren Funktionsvorschriften untersuchen?! Muss ich mir die mittlere auch angucken? |
||
| 25.05.2017, 10:28 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
So sieht der Graph der ersten Funktion aus: Edit:Graph korrigiert. Bei Übergang x=0 gibt's keinen Sprung, denn linker und rechter Grenzwert ist Null. Siehst Du das? Wie sieht es bei x=1 aus? Wie lauten da die Grenzwerte? Einfach einsetzen! Nun mach dasselbe mit der zweiten Funktion. |
||
| 25.05.2017, 11:16 | KunstFan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das sehe ich, aber ich dachte, wir hätten vorher festgestellt, dass es eine Unstetigkeitsstelle gibt?! Das verwirrt mich geerade. Wenn ich x=1 einsetze bekomme ich einmal -1/2 und 2 heraus. Ich verstehe allerdings nicht, wieso ich x=1 einsetzen muss. Hängt das mit mittlerel Funktionsvorschrift zusammen? |
||
| 25.05.2017, 11:33 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, wir haben nur festgestellt, dass die Funktionsvorschrift anscheinend einen Fehler enthält, den ich dann korrigiert habe. In diesem Fall ist die Funktion stetig. An welchen Punkten man schauen muss, hängt in der Tat von dieser Vorschrift ab. Die definiert die Funktion für Werte kleiner Null, für solche zwischen Null und Eins und für größer Eins ja jeweils unterschiedlich. Also muss man an den Grenzen aufpassen. Und die in die beiden Vorschriften links und rechts davon einsetzen. Für x=1 also in 2x und x+1. |
||
| 25.05.2017, 11:41 | KunstFan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, wenn ich die b) nun machen möchte, welchen Wert soll ich zuerst einsetzen? Das ist mir nicht ganz klar. Ich würde -1 und 1 einsetzen und dann gucken. |
||
| 25.05.2017, 11:50 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Perfekt! Dann guck mal. |
||
| 25.05.2017, 12:40 | KunstFan | Auf diesen Beitrag antworten » |
So, ich habe mal geguckt: Wenn ich -1 in x^3+1 einsetze, erhalte ich 0. Wenn ich -1 in x^2 einsetze, erhalte ich 1. Also liegt da doch schonmal eine Unstetigkeitsstelle vor,oder? Wenn ich 1 in x^2 einsetze, erhalte ich 1. Wenn ich 1 in 2x-1 einsetze, erhalte ich auch 1. Hier dürfte dann alles stimmen und es liegt keine Unstetigkeitsstelle vor?! Nochmal zum Verständnis zu a) Wenn ich 0 in -x/2 einsetze und 0 erhalte und 0 in 2x einsetze und wieder 0 erhalte, liegt dort keine Unstetigkeitsstelle vor und die Funktion ist dort stetig?! Wenn ich 1 in 2x und in x+1 einsetze und für beide 2 erhalte, ist die Funktion dort stetig und alles ist in Ordnung?! Ich hoffe, ich habe es nun verstanden |
||
| 25.05.2017, 12:46 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Alles richtig! Viele Grüße Steffen |
||
| 25.05.2017, 12:56 | KunstFan | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen, vielen lieben Dank für deine Engelsgeduld! Ist immer schön, solch einen Aha-Moment zu haben. 
|
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
|
