Beweis Formel Torsion

24.05.2017, 15:39

Jules_

Beweis Formel Torsion

Meine Frage:
Hi Leute,

ich hänge jetzt schon länger an einem Beweis und komme einfach nicht weiter.

Ich habe folgende Formel, die ich beweisen soll:

$\begin{eqnarray*} \tau(t) = \frac{det(\dot{x}(t), \ddot{x}(t), \dddot{x}(t)) }{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} Aus ~ B\cdot N=0~folgt~ \dot{B} \cdot N + B \cdot \dot{N} = 0 \end{eqnarray*}$
Und deshalb führt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\dot{s}(t)} \cdot \dot{B} = -\tau(t) \cdot N(t) ~auf~ \tau = \frac{1}{\dot{s}} B \dot{N} (*) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich zwei weitere Beziehungen, die gelten und zwar:
$\begin{eqnarray*} (1) B(t) = \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | } \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (2) ~\ddot{x}(t) = \ddot{s}(t) T(t) + \dot{s}(t)^{2}\kappa(t) N(t) \end{eqnarray*}$

(2) habe ich nochmal abgleitet und nach $\begin{eqnarray*} \dot{N}(t) \end{eqnarray*}$ aufgelöst.
$\begin{eqnarray*} B(t)~und~\dot{N}(t) \end{eqnarray*}$ habe ich dann in $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ eingesetzt.
Für $\begin{eqnarray*} \kappa(t) \end{eqnarray*}$ habe ich noch folgende Formel verwendet und eingesetzt.
$\begin{eqnarray*} (3) ~\kappa(t)=\frac{|\dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) |}{| \dot{x}(t)^{3} |} \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt kam ich nach Einsetzen auf folgende Formel:
$\begin{eqnarray*} \tau(t) = \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) |^{2} }~ \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t)~(\ddot{x}-2\dot{s}\ddot{s}\kappa N-\ddot{s}^{2}\dot{\kappa}N) \end{eqnarray*}$

Der hintere Summand $\begin{eqnarray*} \ddot{s}^{2}\dot{\kappa}N \end{eqnarray*}$ müsste ja jetzt Null ergeben, da $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ konstant ist und abgleitet Null ergibt, oder ist dies falsch?

Jetzt wäre es ja noch gut, wenn der folgende Ausdruck $\begin{eqnarray*} 2\dot{s}\ddot{s}\kappa N \end{eqnarray*}$ auch Null ergibt, damit ich dann nur noch $\begin{eqnarray*} \tau(t) = \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) |^{2} }~ \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t)~(\ddot{x}) \end{eqnarray*}$ da stehen habe.
Denn ich habe in Wikipedia gefunden, dass folgende allgemeine Beziehung gilt $\begin{eqnarray*} \vec v \cdot (\vec a \times \vec b) = \operatorname{det} (\vec v, \vec a, \vec b) \end{eqnarray*}$ .

Ich habe dann zwar eine etwas andere Reihenfolge, denn mein $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ wäre ja in meinem Fall mein $\begin{eqnarray*} \ddot{x}(t) \end{eqnarray*}$ . Daher ist hier meine Frage, ob die Beziehung dann trotzdem gilt.

Falls meine Überlegungen so richtig sind..könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich dann darauf komme, dass der folgende Ausdruck $\begin{eqnarray*} 2\dot{s}\ddot{s}\kappa N \end{eqnarray*}$ dann auch Null wird?

Vielen Dank für eure Hilfe smile

25.05.2017, 09:07

Jules_

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RE: Beweis Formel Torsion
Weiß niemand weiter? unglücklich

Oder habe ich noch irgendwelche Angaben vergessen, die zur Bearbeitung wichtig wären?

25.05.2017, 10:34

IfindU

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RE: Beweis Formel Torsion
$\begin{eqnarray*} \det(a,b,c) = -\det(a,c,b) = \det(c,a,b) =... \end{eqnarray*}$ . Jede Spaltentauschung gibt ein Minus. Ich wuerde zum Schluss eher zeigen, dass $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ eine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \dot x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ddot x \end{eqnarray*}$ ist.

25.05.2017, 17:44

Jules_

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RE: Beweis Formel Torsion
Danke für deine Antwort smile

.

Ist der Teil mit $\begin{eqnarray*} \ddot{s}^{2}\dot{\kappa}N \end{eqnarray*}$ = 0 denn richtig?

Habe ich das dann richtig verstanden, dass ich dann zeigen soll, dass in diesem Ausdruck $\begin{eqnarray*} 2\dot{s}\ddot{s}\kappa N \end{eqnarray*}$ jetzt eine Linearkombination von N drin steckt und ich das noch zeigen soll?

26.05.2017, 10:54

IfindU

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RE: Beweis Formel Torsion
Mein Tablet ist beim Antworten gecrasht, daher erst jetzt die Antwort:

Die meisten Notationen konnte ich mir denken. Aber $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ faellt vom Himmel -- vermutlich der Betrag von $\begin{eqnarray*} \dot x \end{eqnarray*}$ oder das Inverse -- dennoch gehoert sowas (zusammen mit den anderen Definitionen) in deinen Post. Schon alleine, weil die Torsion gerne mit unterschiedlichen Vorzeichen definiert ist und nicht einmal klar ist wie es bei euch ist.

Meine Hoffnung (aus Mangel an Definitionen habe ich nur vermutet), dass $\begin{eqnarray*} \dot x \times \ddot x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ orthogonal zueinander sind. Das ist der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ eine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \dot x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ddot x \end{eqnarray*}$ ist.Damit wuerden beide Fehlerterme wegfallen und das Ergebnis sollte dastehen.

26.05.2017, 11:22

Jules_

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RE: Beweis Formel Torsion
Okay smile

...

Also s ist bei uns als Bogenlänge definiert:
$\begin{eqnarray*} s(t)=\int_a^t \! | \dot{x}(t)| \, \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

Und die Ableitung von s ist, wie du schon vermutet hast, der Betrag von $\begin{eqnarray*} \dot x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{ds}{dt} = \dot{s}(t)= | \dot{x}(t)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot{x}_{i}(t)=\frac{d}{dt}x_{i}(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot{x}(t) ~ist~der~Tangentialvektor \end{eqnarray*}$

Fehlen sonst noch wichtige Angaben? Ich bin mir das Thema gerade selbst am Erarbeiten...

Gilt dann auch automatisch, dass $\begin{eqnarray*} \ddot{s}(t)= | \ddot{x}(t)| \end{eqnarray*}$ ist?

So ganz verstehe ich das immer noch nicht...woher weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} \dot x \times \ddot x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ orthogonal zueinander sind?

26.05.2017, 11:33

IfindU

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RE: Beweis Formel Torsion

Zitat:

Original von Jules_
$\begin{eqnarray*} B\cdot N=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1) B(t) = \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | } \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) \end{eqnarray*}$

Zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) |^{2} }~ \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) \cdot (-2\dot{s}\ddot{s}\kappa N-\ddot{s}^{2}\dot{\kappa}N) \stackrel ! = 0. \end{eqnarray*}$

Jetzt bist du wieder dran.

Zitat:

Gilt dann auch automatisch, dass $\begin{eqnarray*} \ddot{s}(t)= | \ddot{x}(t)| \end{eqnarray*}$ ist?

Natürlich nicht. Du kannst $\begin{eqnarray*} \ddot s \end{eqnarray*}$ per Kettenregel ableiten, und es kommt was anderes heraus.

26.05.2017, 14:25

Jules_

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RE: Beweis Formel Torsion
Zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) |^{2} }~ \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) \cdot (-2\dot{s}\ddot{s}\kappa N-\ddot{s}^{2}\dot{\kappa}N) \stackrel ! = 0. \end{eqnarray*}$

So, habe ich es jetzt versucht:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | }~ \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) \cdot \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | }(-2\dot{s}\ddot{s}\kappa N-\ddot{s}^{2}\dot{\kappa}N) \end{eqnarray*}$

So ähnlich bin ich ja auch am Anfang rangegangen..
Jetzt dachte ich ja, dass $\begin{eqnarray*} \ddot{s}^{2}\dot{\kappa}N \end{eqnarray*}$ wegfällt weil $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ eine Konstante ist und abgeleitet Null ergibt.
Ist das soweit richtig?

Dann würde ja nur noch
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | }~ \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) \cdot \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | }(-2\dot{s}\ddot{s}\kappa N) \end{eqnarray*}$
dastehen.

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} \dot{s} ~und~\kappa \end{eqnarray*}$ einsetze, dann sieht das ganze ja so was und ich kann einiges wegkürzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | }~ \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) \cdot \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | }(-2~|\dot{x}|~\ddot{s}~\frac{|\dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) |}{| \dot{x}(t)^{3} |}~N) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | }~ \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) \cdot (-2~\ddot{s}~\frac{1}{| \dot{x}(t)^{2} |}~N) \end{eqnarray*}$

Aber jetzt hänge ich irgendwie wieder unglücklich

26.05.2017, 14:30

Jules_

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RE: Beweis Formel Torsion
Vielleicht habe ich es jetzt doch smile

..

Wenn ich jetzt umschreibe und ich $\begin{eqnarray*} B\cdot N=0 \end{eqnarray*}$ miteinbeziehe, dann komme ich ja eigentlich auf die Null, oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | }~ \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) \cdot (-2~\ddot{s}~\frac{1}{| \dot{x}(t)^{2} |}~N) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = B \cdot (-2~\ddot{s}~\frac{1}{| \dot{x}(t)^{2} |}~N) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = B \cdot N\cdot(-2~\ddot{s}~\frac{1}{| \dot{x}(t)^{2} |}) = 0 \end{eqnarray*}$

Allerdings weiß ich jetzt ehrlich gesagt nicht so genau, was mir das bringt, dass ich jetzt gezeigt habe, dass der Ausdruck Null ist...

26.05.2017, 14:34

IfindU

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RE: Beweis Formel Torsion
Das einsetzen von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ haettest du gleich in der ersten Zeile machen koennen. Und wenn die beiden Terme wegfallen, zusammen mit dem Detail der Determinante und der Reihenfolge der Spalten in dieser, hast du doch dein Ergebnis.

Und ich sehe nicht warum $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ eine Konstante sein soll. Was aber auch egal ist, weil nur wichtig ist, dass $\begin{eqnarray*} B \cdot N = 0 \end{eqnarray*}$ , und es egal ist welche Koeffzienten $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ zusaetzlich haben.

26.05.2017, 16:59

Jules_

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RE: Beweis Formel Torsion
Stimmt, okay..also einfach direkt am Anfang N ausklammern und B einsetzen...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | }~ \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) \cdot \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | }(-2\dot{s}\ddot{s}\kappa N-\ddot{s}^{2}\dot{\kappa}N) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =B \cdot \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | }~N~(-2\dot{s}\ddot{s}\kappa -\ddot{s}^{2}\dot{\kappa}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =B \cdot N~ \cdot \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | }(-2\dot{s}\ddot{s}\kappa -\ddot{s}^{2}\dot{\kappa}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =0 \cdot \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) | }(-2\dot{s}\ddot{s}\kappa -\ddot{s}^{2}\dot{\kappa}) = 0 \end{eqnarray*}$

Das habe ich jetzt verstanden smile

Zitat:

mit dem Detail der Determinante

Was meinst du genau damit?

Ich sehe jetzt irgendwie immer noch nicht, dass ich jetzt mein Ergebnis raushabe.
Ich habe doch jetzt nur gezeigt, dass das Null ist…

26.05.2017, 17:08

IfindU

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RE: Beweis Formel Torsion
Konzentrier dich bitte. Du hast im Startpost folgendes bereits hergeleitet (Modulo einer fehlenden Ableitung):
$\begin{eqnarray*} \tau(t) = \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) |^{2} }~ \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t)\cdot (\dddot{x}-2\dot{s}\ddot{s}\kappa N-\ddot{s}^{2}\dot{\kappa}N) \end{eqnarray*}$ .

Mit dem jetztigen Resultat haben wir also
$\begin{eqnarray*} \tau(t) = \frac{1}{| \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t) |^{2} }~ \dot{x}(t) \times \ddot{x}(t)\cdot \dddot{x}(t) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist nur die Frage warum $\begin{eqnarray*} (\dot{x}(t) \times \ddot{x}(t))\cdot \dddot{x}(t) = \det (\dot x, \ddot x, \dddot x) \end{eqnarray*}$ ist. Du hast schon herausgefunden, dass $\begin{eqnarray*} (\dot{x}(t) \times \ddot{x}(t))\cdot \dddot{x}(t) = \dddot{x}(t)\cdot (\dot{x}(t) \times \ddot{x}(t)) = \det (\dddot x, \dot x, \ddot x) \end{eqnarray*}$ ist. Die Frage ist also nur warum $\begin{eqnarray*} \det (\dddot x, \dot x, \ddot x) =\det (\dot x, \ddot x, \dddot x) \end{eqnarray*}$ , was ich als Detail der Determinante bezeichnet habe. Und die Loesung davon steht in meinem ersten Post hier.

26.05.2017, 17:23

Jules_

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RE: Beweis Formel Torsion
Oh ja..ich habe einfach das $\begin{eqnarray*} \dddot{x} \end{eqnarray*}$ verschlampt…

Okay, jetzt kann ich alles nachvollziehen smile

…

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \det(a,b,c) = -\det(a,c,b) = \det(c,a,b) =... \end{eqnarray*}$ . Jede Spaltentauschung gibt ein Minus.

Also, sei $\begin{eqnarray*} a=\dddot{x}, ~b=\dot{x}, ~c =\ddot{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \det (\dddot x, \dot x, \ddot x) = det (a, b, c) = - det (b, a, c) = det (b, c, a) =\det (\dot x, \ddot x, \dddot x) \end{eqnarray*}$

So, ist doch richtig, oder?

Ich danke dir so smile

..du hast mir super weitergeholfen.

26.05.2017, 17:30

IfindU

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RE: Beweis Formel Torsion

Zitat:

Original von Jules_
So, ist doch richtig, oder?

Passt