Markov-Kette, Frage zu einer Definition

25.05.2017, 11:27

Sabbse92

Markov-Kette, Frage zu einer Definition

Guten Tag,

ich lese mir gerade in einem Script

http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ss03/markov/skript/node5.html

etwas zu Markov-Ketten durch und hätte dies bzgl. eine Frage. Bei Gleichung (3) steht der folgende Term:

$\begin{eqnarray*} P(X_0=i_0 , ......., P(X_n=i_n) \end{eqnarray*}$

Wie interpretiert man diesen Ausdruck im Zusammenhang mit Markov-Ketten, könnte mir mal bitte jemand in ein bis zwei Sätze erklären . Ist n die Variable für die Zeit?

Dieser Ausdruck soll gleich

$\begin{eqnarray*} a_{i_0}p_{i_0 i_1} \cdot ..... \cdot p_{i_{n-1} i_n} \end{eqnarray*}$

sein. Wenn man die Vergangenheit mit berücksichtigen würde und nicht nur die Gegenwart, würden dann im oberen Term auch die restlichen $\begin{eqnarray*} a_{i_k}, k \in \{1,....,n\} \end{eqnarray*}$ auftauchen?

25.05.2017, 13:22

SHigh

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RE: Markov-Kette, Frage zu einer Definition

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(X_0=i_0 , ......., P(X_n=i_n) \end{eqnarray*}$

Was soll das denn sein?

Du meinst wahrscheinlich die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \displaystyle P(X_0=i_0,X_1=i_1,\ldots, X_n=i_n) =\alpha_{i_0}p_{i_0i_1}\ldots p_{i_{n-1}i_n} \end{eqnarray*}$

n ist hierbei die Schrittanzahl, wenn du so willst kann das die (diskrete) Zeit sein. Die obige Gleichung ist einfach die Definition einer Markoff-Kette. Äquivalent hierzu wird die Markoff-Kette oft wie in Theorem 2.1 definiert.

Zitat:

Wenn man die Vergangenheit mit berücksichtigen würde und nicht nur die Gegenwart, würden dann im oberen Term auch die restlichen $\begin{eqnarray*} a_{i_k}, k \in \{1,....,n\} \end{eqnarray*}$ auftauchen?

Warum sollten die anderen Startwahrscheinlichkeiten (zum Zeitpunkt n=0) mit berücksichtigt werden? Du startest nun mal in $\begin{eqnarray*} i_0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} P(X_0=i_0)=\alpha_{i_0} \end{eqnarray*}$ .

27.05.2017, 10:19

Sabbse92

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Dankeschön!

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