Basis Modul

25.05.2017, 20:06	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Modul Meine Frage: Betrachte den $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ -Untermodul $\begin{eqnarray} U \subseteq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , der von $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c}3\\5\end{array} \right) \end{eqnarray}$ erzeugt wird. Finde eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , die den Vektor $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c}3\\5\end{array} \right) \end{eqnarray}$ enthält. Hinweis: Man benutze den Beweis des Elementarteilersatzes. Meine Ideen: Ich weiß nicht genau, wie ich hier ran gehen soll. Ich habe zuerst gedacht man könnte Im allgemeinen eine Darstellungsmatrix bestimmen zwischen einer Basis von Y, wobei ein Basiselement $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c}3\\5\end{array} \right) \end{eqnarray}$ ist und das andere nicht bekannt ist, usw. Aber dies scheint nicht zu funktionieren. Mir fehlt es wirklich an einem konkreten Ansatz.
26.05.2017, 13:08	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Modul https://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Modul)#Beispiel (Der Link scheint so nicht zu funktionieren, wenn man draufklickt, bitte alles kopieren und suchen, dann kommt man direkt auf das Beispiel, welches ich meine). Mir kam auch die Idee, die Basis auf diese Art zu konstruieren, indem ich $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ als sein eigenes Untermodul auffasse, allerdings weiß ich hier nicht, wie ich dann damit umgehen muss, dass ich ja bereits den Vektor $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c}3\\5\end{array}\right) \end{eqnarray}$ als Basiselement habe. Der Hinweis aus der Frage ist eher als Tipp zu lesen. Hat jemand eine Idee?
27.05.2017, 11:09	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Modul Ich habe von Algebra genau kein Ahnung und deshalb hätte ich $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c}3\\5\end{array}\right) \end{eqnarray}$ mit einem zweiten Vektor $\begin{eqnarray} (a,b)^T\in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ so ergänzt, dass die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}3&a\\5& b\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Determinante 1 hat.

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