Trapezregel und Romberg Integration

26.05.2017, 13:39	Matherialsit	Auf diesen Beitrag antworten »
Trapezregel und Romberg Integration Meine Frage: Guten Tag, Ich soll folgende Näherungen $\begin{eqnarray} T_i , i=0,1,2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} I=\int_{0}^{1} \! \frac{1}{1+x} \, dx \end{eqnarray}$ mit der Trapezsumme zu den Schrittweiten $\begin{eqnarray} h_i =2^{-i-1} \end{eqnarray}$ bestimmen. Anschließend soll ich die gewonnenen Werte mit Hilfe der Romberg Integration verbessern. Meine Ideen: Ich habe folgende Trapezregel auf Wikipedia gefunden: $\begin{eqnarray} T_n(f)=h(\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\sum\limits_{i=1}^{n-1} f(a+ih) \end{eqnarray}$ . Jedoch kann man bei dieser meines Verständnisses nach erst bei n=1 anfangen. Muss ich die Formel umformen (wenn ja, wie?) oder kann ich diese Formel für die Trapezregel nutzen? Da $\begin{eqnarray} T_0 und T_1 \end{eqnarray}$ beide ohne die Summe arbeiten würden sehe ich nicht, wie die Trapezformel so richtig sein könnte. Habt ihr Vorschläge? Viele Grüße und Danke im Voraus -Matherialist
26.05.2017, 16:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Schrittweiten sind ja vorgegeben. Bei der Schrittweite $\begin{align} \text{(1)} \ \ \ h = 2^{-1} = \frac{1}{2} \end{align}$ wird $\begin{align} [0,1] \end{align}$ in 2 Teilintervalle zerlegt $\begin{align} \text{(2)} \ \ \ h = 2^{-2} = \frac{1}{4} \end{align}$ wird $\begin{align} [0,1] \end{align}$ in 4 Teilintervalle zerlegt $\begin{align} \text{(3)} \ \ \ h = 2^{-3} = \frac{1}{8} \end{align}$ wird $\begin{align} [0,1] \end{align}$ in 8 Teilintervalle zerlegt Dem entsprechend ist $\begin{align} n \end{align}$ in der Sehnentrapezregel $\begin{align} T_n(f) \end{align}$ zu wählen: $\begin{align} \text{(1)} \ \ n = 2 \end{align}$ $\begin{align} \text{(2)} \ \ n = 4 \end{align}$ $\begin{align} \text{(3)} \ \ n = 8 \end{align}$ Die Graphik zeigt den Fall $\begin{align} n=4 \end{align}$ . [attach]44511[/attach]

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