Jordansche Normalform einer 4x4-Matrix bestimmen |
| 26.05.2017, 15:22 | Sarah16695 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Jordansche Normalform einer 4x4-Matrix bestimmen Liebe Helfer(innen), ich soll zu folgender Matrix die Jordansche-Normalform bestimmen. A = ( 2 3 0 -6 ) ( 6 5 0 -12 ) ( 7 5 -1 -11) ( 3 3 0 -7) Meine Ideen: So als erstes habe ich das charakteristische Polynom berechnet und kam dabei auf: PA(X) = (-1-x)*(-x3+3x+2) Dann habe ich die Eigenwerte bestimmt. Dabei kam ich auf x = (-1) und x = 2, wobei der Eigenwert (-1) die algebraische Vielfachheit 3 hat und 2 die algebraische Vielfachheit 1 hat. So jetzt weiß ich, dass meine Jordan-Normalform in etwa so aussieht: ( -1 0 0) (0 -1 0) (0 0 -1 0) (0 0 0 2) So und jetzt weiß ich einfach nicht wie ich weiter machen soll. Wie bekomme ich die fehlenden Einträge raus? Wir hatten leider kein Beispiel in der Vorlesung und wenn ich andere Beispiele mir ansehe, verstehe ich nicht was da mit dem Kern gemacht wird. Ich hoffe mir kann jemand helfen ich verzweifel schon. Dankeschön 
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| 26.05.2017, 16:42 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für die Nebendiagonale brauchst Du die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes -1. Bestimme hierzu die Eigenvektoren zum Eigenwert -1 |
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| 26.05.2017, 16:57 | Sarah160695 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe als Eigenvektor zu -1: (1,3,0,2) und zum Eigenwert 2: (3,6,7,3) Willkommen im Matheboard! Du bist hier zweimal angemeldet, Sarah16695 wird daher demnächst gelöscht. Viele Grüße Steffen |
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| 26.05.2017, 17:03 | Sarah160695 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bei der Berechnung zum Eigenwert -1 haben sich 2 Nullzeilen ergeben, also ist doch die geometrische Vielfachheit 2 (oder???) |
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| 26.05.2017, 17:51 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig, denn die Matrix ist ja eine 4x4-Matrix. Wie sieht demnach die Jordanform aus? |
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| 26.05.2017, 18:09 | Sarah160695 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
auf der diagonalen ist 3* (-1) und dann die 2 aber die dadrüber??? Ich weiß nicht wie ich das mit der geometrischen VFH jetzt anwenden kann. |
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| 26.05.2017, 18:16 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast die Lösung schon vor Augen: Die Jordanform muss die Gestalt haben. Ist Dir klar wie die geometrische Vielfachheit 2 diese Gestalt bedingt? |
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| 26.05.2017, 18:25 | Sarah160695 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein das ist mir nicht klar. Heisst die geom. VFH = 2 bedeutet, dass ich min. einen -1 block der größe 2x2 habe und weil ich ja jetzt nur 3 einträge mit -1 habe muss der andere ein 1er block sein. deswegen nur einmal eine 1 in der Nebendiagonalen? Tut mir leid, dass das jetzt nicht sehr mathematisch ausgedrückt ist, ich versuche nur das endlich zu verstehen.. |
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| 26.05.2017, 18:29 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
geometrische Vielfachheit zwei heisst, dass es zwei Jordankästchen zu diesem Eigenwert gibt. Da wir aber insgesamt drei Einträge haben, muss somit ein zweier und ein einser-Kästchen in der Matrix auftauchen. |
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| 26.05.2017, 18:32 | Sarah160695 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
D.h. die 1 in der Nebendiagonalen könnte theoretisch auch eins weiter unten rechts sein? Hätte ich jetzt als geom. VFH 3 rausbekommen hätte ich 3 1er Blöcke gehabt und bei geom. VFH 1 einen 3er Block also zweimal 2 in der nebendiagonalen? |
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| 26.05.2017, 18:41 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau so ist es 
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| 26.05.2017, 18:49 | Sarah160695 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe es jetzt mit einem anderen Beispiel versucht da klappt es nicht. 
ALso ich hab als Matrix A = (2 1 1 -3) (2 1 6 -10) (1 -1 10 -13) (0 0 4 -5) so als char. Polynom habe ich raus x^4 - 8*x^3+22*x^2-24*x + 9 Dann hab ich als eigenwerte zweimal 1 und zweimal 3 dann habe ich die geom. VFH von 3 bestimmt diese ist 2 und beim Kern für (A-1*E) bekomme ich gar keine Nullzeile hin dann hätte ich ja eine geom. VFH von 0 ? |
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| 26.05.2017, 18:52 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Rechne noch einmal nach, ich komme auf eine Nullzeile. Ansonsten wäre 1 ja auch kein Eigenwert, was aber wegen 1-8+22-24+9=0 der Fall ist. |
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| 26.05.2017, 18:56 | Sarah160695 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber hab das mal bei wolfram mathe eingegeben der sagt über die 3en kommt keine 1, aber wenn ich doch jetzt die geom. VFH 2 raushabe muss ich doch da eine 1 in der nebendiagonalen machen ? |
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| 26.05.2017, 19:02 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich kommt da keine 1 drüber, denn die geometrische Vielfachheit ist ja genau wie die algebraische Vielfachheit, nämlich zwei. Wir brauchen also zwei Kästchen mit der 3. Wie sollen da noch einsen drüber kommen? |
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| 26.05.2017, 19:03 | Sarah160695 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab den rechnfehler gefunden. so jetzt habe ich als geom. vfh für 1 = 1 raus und für die geom. VFH von 3 hab ich 2 dann würden meine jordan normalform doch so aussehen J = (1000) (0100) (0031) (0003) Warum sagt Wolfram denn jetzt was anderes ???
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| 26.05.2017, 19:06 | Sarah160695 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das verstehe ich jetzt wieder nicht ich dachte die geom. VFH bestimmt die kästchen größe und bei 2x2 kommt eine 1 drüber und bei 3x3 eben 2 1en ? |
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| 26.05.2017, 19:15 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wo habe ich etwas von Kästchengröße=geometrische Vielfachheit geschrieben? Noch einmal: Die geometrische VFH bestimmt die Anzahl der Kästchen. Deren Größe lässt sich nur in Zusammenhang mir der algebraischen Vielfachheit bestimmen. Beispiel: GeoVFH=3, algVFH=4, dann gibt es drei Kästchen. Da jedes mindestens die Größe eins haben muss, kommt nur die Kombination 2+1+1 in Frage. GeoVFH=1, algVFH=3, dann gibt es ein Kästchen der Größe drei. |
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| 26.05.2017, 19:29 | Sarah160695 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahh okay klar. Entschuldige, dass war dumm von mir. Danke, Danke, Danke
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