R-Algebrenhomomorphismen

Neue Frage »

26.05.2017, 22:16	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
R-Algebrenhomomorphismen Hallo liebe Community ich soll alle R-Algebrenhomomorphismen von C nach C (Komplexe Zahlen) bestimmen. Habe überhaupt keinen Ansatz. Könnte mir jemand einen Denkanstoß geben? Mir ist klar, dass hier Funktionen von C nach C gesucht sind, die ein Ringhomomorphismus und R-Linear sind, jedoch habe ich keinen Plan wie ich da alle kompakt angeben kann. Danke und LG
27.05.2017, 09:27	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Trick ist, dass es davon garnicht so viele gibt. Nim an, $\begin{align} f \end{align}$ sei so ein $\begin{align} \mathbb R- \end{align}$ Algebrenhomomorphismus. Wie kannst du jetzt $\begin{align} f(a+ib) \end{align}$ vereinfachen, wenn du erstmal nur die Linearität ausnutzt.
27.05.2017, 10:49	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist ja dann f(a)+f(ib) bzw im weiteren f(a)+f(i)*f(b) . Stehe aber immer noch auf dem Schlauch...
27.05.2017, 10:50	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie kannst du $\begin{align} f(a) \end{align}$ noch vereinfachen, wenn du die Linearität ausnutzt?
27.05.2017, 11:36	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
zu f(i) * f(-ia) bzw. f(i) f(-i) * f(a) ? bzw vereinfachen doch garnicht mehr?
27.05.2017, 11:40	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} f(a) = f(a\cdot 1) = ... \end{align}$ .
Anzeige

27.05.2017, 15:22	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß einfach nicht auf was du hinaus willst
27.05.2017, 16:01	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe wirklich nicht, was so schwierig daran ist, mit dem Tipp, sich $\begin{align} f(a\cdot 1) \end{align}$ anzuschauen und Linearität auszunutzen, darauf zu kommen, das als $\begin{align} f(a\cdot 1) = a\cdot f(1) \end{align}$ zu schreiben. Eine andere Möglichkeit, Linearität auf genau diesen Ausdruck anzuwenden, gibt es doch garnicht. Dann haben wir $\begin{align} f(a+ib) = a\cdot f(1)+b\cdot f(i) \end{align}$ . Wir müssen also nur noch herausfinden, welche Werte $\begin{align} f(1), f(i) \end{align}$ sein können. Guck dir dazu mal zuerst an, was man über $\begin{align} f(1)\cdot f(1) \end{align}$ erfahren kann.
27.05.2017, 16:43	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, wenn man nicht weiß auf welches Endprodukt man abzielt bleibt einem nur noch Raten, inwiefern mir das nämlich weiterhilft war unklar für mich. ich weiß immer noch nicht (sorry dafür) auf was man hier abzielt. ich könnte ja f(1)f(1) auf viele verschiedene Arten anschreiben: (f(0)+f(1))(f(0)+f(1)) usw. mit dem Argument, dass i^2=-1; i^3=-i und i^4=1 ist habe ich ja endlich viele Möglichkeiten bzw. sinnvolle Möglichkeiten das zu zerlegen... konkreter: Woran mache ich fest, dass ein R-Algebrenhomomorphismus von C nach C sich zu einem anderen unterscheidet? LG
27.05.2017, 17:07	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, am Anfang mussten wir, um $\begin{align} f \end{align}$ zu kennen, für alle $\begin{align} z\in\mathbb C \end{align}$ bestimmen, was $\begin{align} f(z) \end{align}$ ist. Jetzt müssen wir nur noch $\begin{align} f(1) \end{align}$ und $\begin{align} f(i) \end{align}$ bestimmen. Also sind wir von allen komplexen Zahlen runter auf $\begin{align} 2 \end{align}$ gekommen. Ist das nicht ein Fortschritt? Ich hab das Gefühl, das wir nicht weiterkommen. Dir fehlt jegliche Intuition dafür, was wir hier überhaupt machen, so dass du mit meinen Tipps nicht wirklich etwas anfangen kannst. Es ist $\begin{align} f(1) \cdot f(1) = f(1\cdot 1) = f(1) \end{align}$ . Also ist $\begin{align} f(1)-f(1)^2 = 0 \end{align}$ . Lösen dieser Gleichung in $\begin{align} \mathbb C \end{align}$ liefert $\begin{align} f(1)=0 \end{align}$ oder $\begin{align} f(1) = 1 \end{align}$ . Falls $\begin{align} f(1) = 0 \end{align}$ , so ist $\begin{align} f(z) = f(1\cdot z) = f(1)f(z) = 0\cdot f(z) = 0 \end{align}$ für alle $\begin{align} z \end{align}$ , also ist dann $\begin{align} f\equiv 0 \end{align}$ . Betrachten wir den Fall $\begin{align} f(1) = 1 \end{align}$ , so ergibt sich $\begin{align} f(a+ib) = a+b\cdot f(i) \end{align}$ . Nun gilt aber $\begin{align} f(i)^2 = f(i^2) = f(-1) = -1\cdot f(1) = -1 \end{align}$ . Lösen wir diese Gleichung wieder in $\begin{align} \mathbb C \end{align}$ , ergibt sich $\begin{align} f(i) = i \end{align}$ oder $\begin{align} f(i) = -i \end{align}$ . Die einzigen Möglichkeiten sind also $\begin{align} f\equiv 0, f(z) = z, f(z) = \bar z \end{align}$ . Versuch, fürs nächste mal etwas mitzunehmen, worauf es ankommt. Man muss mit den Eigenschaften, die man hat herumspielen. Dann findet man heraus, wie mögliche Abbildungen dieser Art aussehen müssen.
27.05.2017, 18:14	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar vielen Dank! jetzt sehe ich wie du das gemeint hast. Ist zwar immer noch total ungewohnt für mich aber ich werde das jetzt mal komplett durcharbeiten! Danke für deine Geduld LG

Neue Frage »

Antworten »

R-Algebrenhomomorphismen

Verwandte Themen