Glücksspiel

27.05.2017, 11:35	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Glücksspiel Guten Tag, in einer Aufgabe soll ich mit Markov-Ketten, die vor kurzem in der Vorlesung eingeführt haben , die W'keiten in einem Glücksspiel bestimmen. Zwei Spieler A und B speilen eine Folge von unabhängige Glücksspiele, bei denen jeweils Spieler A mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und Spieler B mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} q=1-p \end{eqnarray}$ gewinnt. Der Gewinner erhält eine Einheit von dem Verlierer. Das Spiel ist solange fortgesetzt, bis einer der Spieler kein Geld mehr hat. Zu Beginn besitze Spieler A, $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ Einheiten und Spieler B, $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ Einheiten. Das Gesamtkapital ist also $\begin{eqnarray} a+b \end{eqnarray}$ . Wir wollen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass am Ende Spieler A gewinnt. Sei für $\begin{eqnarray} n\geq 0, X_n \end{eqnarray}$ das Kapital von Speiler A am n-ten Spiel. Es ist also $\begin{eqnarray} X_0=a \end{eqnarray}$ . Im Verlauf des Spiels ist also $\begin{eqnarray} X_n=c , \quad 0\leq c\leq a+b \end{eqnarray}$ . Seien G (bzw. V) die Ereignisse, dass am Ende A gewinnt (bzw. am Ende A verliert), und bezeichne $\begin{eqnarray} p_c:=\mathbb P(G\| X_n=c). \end{eqnarray}$ (also p_c hängt von n nicht ab). Weiter, ist $\begin{eqnarray} p_0=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_{a+b}=1 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie - $\begin{eqnarray} p_c=p\cdot p_{c+1}+q\cdot p_{c-1}\ \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} p(p_{c+1}-p_{c})=q(p_{c}-p_{c-1}) \end{eqnarray}$ -Im Fall $\begin{eqnarray} p=q=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , zeigen Sie: $\begin{eqnarray} p_a=\frac{a}{a+b} \end{eqnarray}$ Erste Teilaufgabe: Für $\begin{eqnarray} p_c \end{eqnarray}$ kann ich die Definition einsetzen und die bedingte W'keit umschreiben wenn $\begin{eqnarray} c\neq 0 \end{eqnarray}$ . Das hilft mir aber nicht weiter.. Bei den anderen Teilaufgaben habe ich leider gar keine Idee..
27.05.2017, 12:49	SHigh	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glücksspiel Hallo, alles ohne Gewähr, da sollte schon nochmal jemand seine Meinung abgeben, aber vielleicht hilft das als Denkanstoss: $\begin{eqnarray} p\cdot p_{c+1}+q\cdot p_{c-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =P(X_n=c+1\|X_{n-1}=c)\cdot P(G\|X_n=c+1) + P(X_n=c-1\|X_{n-1}=c)\cdot P(G\|X_n=c-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =P(G\|X_{n-1}=c)=p_c \end{eqnarray}$ Die nächste sollte einfach sein, wenn man die obige Aussage benutzt: $\begin{eqnarray} p(p_{c+1}-p_{c})\overset{oben}=p_c-qp_{c-1}-pp_c=(1-p)p_c-qp_{c-1}=q(p_{c}-p_{c-1}) \end{eqnarray}$
28.05.2017, 20:45	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir

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