Konjugiert komplex erweitern

29.05.2017, 18:26

aslmx

Konjugiert komplex erweitern

Hi,

nachdem mir schon heute Morgen so gut geholfen wurde, brauch ich nochmal eine Verständnis hilfe.

Ich finde leider kein Bespiel, wo ein Bruch mit komplexer Zahl im Nenner eines Bruches steht.

Konkret habe ich

$\begin{eqnarray*} \frac{600k \Omega}{1000 \Omega + \frac {101,5k \Omega}{1 + j x}} \end{eqnarray*}$

Eigentlich will ich ja nur das jx aus dem Nenner des zweiten Summanden im Nenner rauskriegen.

Erweitere ich jetzt den gesamten Bruch konjugiert komplex?

Und wenn ja, mit welchem?

MIt dem gesamten Nenner? So:

$\begin{eqnarray*} \frac{600k \Omega}{1000 \Omega + \frac {101,5k \Omega}{1 + j x}} \cdot \frac{1000\Omega -\frac{101,5k\Omega}{1+jx}}{1000\Omega -\frac{101,5k\Omega}{1+jx} } \end{eqnarray*}$

Oder doch nur mit der konjugiert komplexen des Nenner-Nenners...

$\begin{eqnarray*} \frac{600k \Omega}{1000 \Omega + \frac {101,5k \Omega}{1 + j x}} \cdot \frac{1-jx}{1-jx} \end{eqnarray*}$

Glaube ja eher, dass es das zweite NICHT ist, aber beim ersten bin ich mir auch unserich ob das + zwischen den Summanden zum Minus wird oder nicht doch das + im Nenner des zweiten (komplexen) Summanden?
verwirrt

Danke für eure Ratschläge

vg
aslmx

29.05.2017, 21:01

Steffen Bühler

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RE: Konjugiert komplex erweitern - aber nur im Nenner?
Gemeint ist ja das Schema

$\begin{align*} \frac a{b+jc}=\frac {a(b-jc)}{(b+jc)(b-jc)}=\frac{ab-jac}{b^2+c^2} \end{align*}$

Der Nenner wird durch die dritte binomische Formel auf höchst elegante Weise reell. Aber man muss dafür nun mal die komplex Konjugierte nehmen, anders geht es nicht.

Wenn Du also einen Ausdruck wie $\begin{align*} \frac{a}{b+ \frac c{1+jx}} \end{align*}$ vor Dir hast, musst Du, um die Konjugierte zu bekommen, erst mal mit $\begin{align*} 1+jx \end{align*}$ zu $\begin{align*} \frac{a(1+jx)}{b(1+jx)+ c} \end{align*}$ erweitern.

Lektüre: [WS] Komplexe Zahlen

Viele Grüße
Steffen

30.05.2017, 10:28

aslmx

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RE: Konjugiert komplex erweitern - aber nur im Nenner?
Danke für den Hinweis mit dem Erweitern. Das hilft auf jedenfall schonmal den Bruch im Nenner weg zu bekommen.

Hatte mir deinen Link nochmal durchgelesen, das hat meine verstaubten Kenntnisse nochmal ein wenig aufgefrischt, aber mir fehlt es noch an der Praxis das jetzt genau auf meine Anwendung anzuwenden.

Wenn ich dann aber jetzt mit (1 - jx ) komplex konjugiert erweitere um die komplexe Zahlaus dem Nenner weg zu kriegen, dann bekomme ich zwar j im ersten Summanden "b" weg, aber muss ja auch den zweiten Summanden c mit (1-jx) ausmultiplizieren.

Dann hab ich ja aber doch wieder eine komplexe Zahl im Nenner die ich eigentlich gar nicht haben wollte.

Ich kann zwar durch "muffige" Tricks ein bisschen weg kürzen(in dem ich den Bruch umkehre habe ich die beiden Summanden (b und c) ja im Nenner und kann sie mit dem jetzigen Zähler a als Nenner getrennt von einander schreiben um dann weg zu kürzen), aber das erscheint mir auch nicht als der richtige weg, weil das anschließend auch nicht viel übersichtlicher aussieht unglücklich

Habe mal meine Schritte bis zum nächsten "Berg" angehangen.

Hätte ich nachdem Erweitern (also quasi nach Zeile 0) vor dem komplex konjugierten Erweitern b(1+jx)j + c zu erst ausmultiplizieren müssen?

danke+vgs

30.05.2017, 11:06

Elvis

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Das sieht cool aus, führt aber leider nicht zum Ziel. Augenzwinkern

Tipp: Löse zuerst die Klammer im Nenner auf und erweitere dann den Bruch mit dem konjugiert komplexen des Nenners. (Jetzt habe ich deinen Beitrag ganz bis zum Ende durchgelesen und sehe, dass du schon selbst diese gute Idee hattest.)

30.05.2017, 11:13

Steffen Bühler

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RE: Konjugiert komplex erweitern - aber nur im Nenner?

Zitat:

Original von aslmx
Hätte ich nachdem Erweitern (also quasi nach Zeile 0) vor dem komplex konjugierten Erweitern b(1+jx)j + c zu erst ausmultiplizieren müssen?

Ja, in der Tat. Sorry, ich dachte, das wäre klar. Nur dann kommst Du ja im Nenner auf die Form a+jb, von der die Konjugierte dann ja leicht zu bilden ist.

Also:

$\begin{align*} \frac{600k \Omega}{1000 \Omega + \frac {101,5k \Omega}{1 + j x}} \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{600k \Omega \cdot (1+jx)}{1000 \Omega \cdot (1+jx) + 101,5k \Omega} \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{600k \Omega +jx \cdot 600k \Omega}{(1000 \Omega + 101,5k \Omega) + jx \cdot 101,5k \Omega} \end{align*}$

Und nun mit $\begin{align*} 102,5k \Omega - jx \cdot 101,5k \Omega \end{align*}$ erweitern.

30.05.2017, 17:34

aslmx

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Vielmals Danke für eure Hilfe...

ich hab es jetzt noch etwas weiter aufgelöst siehe Anhang.

Sorry falls ihr was copy/pasten wollt zur Korrektur, aber mit LibreOffice hab ich das ding viel schneller gemacht als mit dem LatexCode ;-)

Ich hab da am Ende zwei Alternativen. Ich glaube A ist nicht richtig oder? auch wenn da +j und -j auftauchen, weil da noch ein Rest Imaginär Teil bleibt wird der ja nicht einfac reell...

Nun habe ich B... Richtiger kriege ich es glaub ich nicht hin...

Meine Fragen:
1. Soweit richtig?

2. Wo könnt eman da jetzt noch vereinfachen, ich muss das ding eigentlich nach X auflösen... denn X ist eigentlich nur der Ersatz für das in der Ursprünglichen hier nicht gezeigten Gleichung vorhandene

%omega * R * C bzw. 2 * pi * f * R * C

Da muss am Ende mal ne Kapazität rauskommen traurig

danke+vgs

30.05.2017, 17:51

Steffen Bühler

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Da ist leider noch einiges falsch.

Zunächst mal kommt im Nenner noch ein j² dazu, sodass aus a²-b² ein a²+b² wird.

Im Zähler stehen zwei Terme mit jx. Dieser Faktor darf natürlich beim Zusammenfassen weder vollständig verschwinden wie in Alternative A noch zu j verstümmelt werden wie in Alternative B. Es bleibt einfach ein Faktor jx.

Und außerdem: $\begin{align*} 10^3 \Omega \cdot 10^3 \Omega \neq 10^3 \Omega^2 \end{align*}$ .

Auflösen kann man nur Gleichungen, keine Terme. Gibt es denn irgendwas, das dieser Term ergeben soll?

30.05.2017, 18:15

aslmx

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Da ist leider noch einiges falsch.

Ich habs befürchtet...

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Zunächst mal kommt im Nenner noch ein j² dazu, sodass aus a²-b² ein a²+b² wird.

Ja okay danke. Verstanden - anders macht es auch keinen Sinn...

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Im Zähler stehen zwei Terme mit jx. Dieser Faktor darf natürlich beim Zusammenfassen weder vollständig verschwinden wie in Alternative A noch zu j verstümmelt werden wie in Alternative B. Es bleibt einfach ein Faktor jx.

Ähhh ja. Das Alternative A falsch ist dachte ich mir - das hab ich nur drin gelassen.. keine Ahnung wieso eigentlich Augenzwinkern

Das x in Alternative B fehlt leuchtet mir nun auch ein...

Die Frage war eher: darf ich die 60900 von den 61500 abziehen und es bleibt dann 600 übrig? Also natürlich

j*x*61500 - j*x*60900 = j*x*600 ?

Bzw in meiner Lösung steht ja eigentlich

- j*x*60900 +j*x*61500 = + j*x*600 ?

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Und außerdem: $\begin{align*} 10^3 \Omega \cdot 10^3 \Omega \neq 10^3 \Omega^2 \end{align*}$ .

Nachdem ich jetzt 5 Minuten gesucht habe wo das buchstäblich so steht... hab ich wohl mal falsch zusammengezäht.

Ich hab das 10^3 eigentlich nur als Ersatz für das K(ilo) Ohm gesetzt, weil ich sonst nachher durcheinander kam und ich den Eindruck habe das es nachher leichter ist zusammenzurechnen wenn man nicht ständig vergisst das es ja 600000Ohm und nicht 600 sind (auch wenn da 600k steht...)

ALso wenn da irgendwo 10^3*10^3 Ohm^2 steht ist das ein Tippfehler.

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Auflösen kann man nur Gleichungen, keine Terme. Gibt es denn irgendwas, das dieser Term ergeben soll?

Ja. Aufgabe ist es, die Emitterkapazität einer Emitterschaltung so zu dimensionieren, dass bei einer Frequenz von 100Hz der Verstärkungsfaktor v_u = u_2 / u_1 = 100 ist.

Der Term über den wir hier sprechen ist quasi der Bruch u_2 / u_1

Aus j OMEGA * R * C ein jx zu machen, war ein Lösungstipp des Aufgabenstellers. Dann muss man das OMEGA * R * C nicht in 17 Schritten mitschleifen.

Letztendlich muss das ja nach C aufgelöst werden damit es eine Kapazität ergibt.

Ich werd mir das Morgen nochmal in Ruhe ansehen und hoffe mal für mich das a) das Rep am Donnerstag mir weiterhilft oder b) ich diese Runde von diesem Aufgabentyp verschont bleibe um mir dann danach nochmal die Mathe Skripte in Ruhe anzusehen. Augenzwinkern

Bis morgen Augenzwinkern

danke+vgs

30.05.2017, 20:49

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von aslmx
darf ich die 60900 von den 61500 abziehen und es bleibt dann 600 übrig? Also natürlich

j*x*61500 - j*x*60900 = j*x*600 ?

Ja. Wird auch Distributivgesetz genannt: ax-bx=(a-b)x.

Zitat:

Original von aslmx
ALso wenn da irgendwo 10^3*10^3 Ohm^2 steht ist das ein Tippfehler.

Umgekehrt: dann wär's richtig. Bei Dir steht $\begin{align*} 600k \Omega \cdot 102,5 k \Omega = 61500 \cdot 10^3 \Omega^2 \end{align*}$ . Und das ist eben falsch.

Zitat:

Original von aslmx
u_2 / u_1 = 100
...
Der Term über den wir hier sprechen ist quasi der Bruch u_2 / u_1

Dann setz ihn doch gleich 100 und löse nach x auf.

EDIT: allerdings ist hier wohl eher der Betrag des Verstärkungsfaktors gesucht, dann musst Du auch den Betrag des Terms gleich 100 setzen. Und in diesem Fall wäre es, wie bereits im anderen Thread erwähnt, einfacher gewesen, Betrag von Zähler und Nenner getrennt zu bilden und deren Quotient gleich 100 zu setzen. Dann spart man sich die fehlerträchtige Rechnerei mit der Konjugierten.

Zitat:

Original von aslmx
Aus j OMEGA * R * C ein jx zu machen, war ein Lösungstipp des Aufgabenstellers.

Er hätte vielleicht noch den Tipp geben können, aus demselben Grund die drei Widerstände mit R1, R2 und R3 zu bezeichnen.

31.05.2017, 18:18

aslmx

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

Er hätte vielleicht noch den Tipp geben können, aus demselben Grund die drei Widerstände mit R1, R2 und R3 zu bezeichnen.

Im Gegenteil. Es wurde sorgar geraten die Werte einzusetzen und zusammengefasst damit weiter zu rechnen. In der Tat sieht das auch gar nicht mehr so schwer aus...

Ich hab mir jetzt die Musterlösung besorgt. Die kann ich auch nachvollziehen, einzig und alleine einen Schritt verstehe ich nicht.

Vermutlich meiner selektiven Dyskalkulie (die sich auf Bruchrechnung auswirkt) zur Folge verstehe ich nicht wie man von

$\begin{eqnarray*} v_U = \left | - \frac{3000 \Omega \cdot 200}{1000 \Omega + (201) \cdot \frac{0.5 K \Omega }{1+jx} } \right | = \left | - \frac{600 K \Omega }{1000 \Omega + \frac{100.5 K\Omega}{1+jx} } \right | \end{eqnarray*}$

mit vu = 100 setzen auf

$\begin{eqnarray*} 100 = \left | \frac {-600} {1 + \frac {101.5K \Omega }{1+jx} } \right | \end{eqnarray*}$

Kommt...

Wie kürzt man denn da die 1000 Ohm aus dem Nenner raus?

Wenn es der Kehrwert des Bruches wäre (zwei Summanden im Zähler) dann würde ich ja verstehen wie man das trennt und vielleicht vereinfacht... aber in Summen darf man nicht einfach kürzen...

Leider gibt es keinen Hinweis auf den Zwischenschritt... Und ich denke es ist wie immer ~~schwarze Magie~~ ein einfacher Trick der mir nicht geläufig ist

Danke für eure Geduld und Hilfe

VGS

31.05.2017, 19:33

Steffen Bühler

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Mach Dir keine Gedanken, das ist eindeutig ein Fehler in der Musterlösung. Es würde ja auch von den Einheiten her nicht passen.

Nein, da wird jeweils aus allen Termen 1000 Ohm rausgezogen, somit bleibt $\begin{eqnarray*} \left | \frac {-600} {1 + \frac {100.5 }{1+jx} } \right | \end{eqnarray*}$ übrig.

Viele Grüße
Steffen

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