Gleichmäßige Konvergenz von einer Funktionenfolge beweisen

29.05.2017, 18:50

Dieter12355

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Gleichmäßige Konvergenz von einer Funktionenfolge beweisen

Meine Frage:
Zeige, dass
$\begin{eqnarray*} f_{k}(x)=\frac{x}{1+kx^2} \end{eqnarray*}$ gegen 0 gleichmäßig auf ganz R kovergiert.

Meine Ideen:
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} ||\frac{x}{1+kx^2}-0|| -> 0 \end{eqnarray*}$ für k gegen unendlich. Aber $\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+kx^2} \end{eqnarray*}$ ist ja immer 0 für jedes x wenn k gegen unendlich. Wenn ich da noch formal zeige habe ich es doch schon oder?

29.05.2017, 20:32

HAL 9000

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Damit hast du allenfalls punktweise Konvergenz nachgewiesen.

Gleichmäßige Konvergenz ist schon noch etwas mehr - schau dir deren Definition mal an.

29.05.2017, 20:52

Dieter12355

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Unsere Definition von gleichmäßiger Konvergenz: ||fk(x) -f|| -> 0 für k gegen unendlich. Das f ist doch in unserem Fall 0 richtig?

29.05.2017, 22:18

Dieter12355

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Kann mir jemand sagen, ob ich dann aus $\begin{eqnarray*} sup | \frac{x}{1+kx^2}| \end{eqnarray*}$ (Def. von gleichmäßiger Konvergenz) ->0 für egal welches x und k-> unendlich geht, folgern kann, dass es gleichmäßig konvergent ist. Ich arbeite hier doch strikt mit der Definition oder nicht?

30.05.2017, 01:02

005

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Die Definbition geht in zwei Teile zerlegt so: Man definiert

$\begin{eqnarray*} a_n:=\sup_{x\in A}|f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$

und verlangt dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=0 \end{eqnarray*}$ .

An diese Reihenfolge musst Du Dich schon halten.

Vergleiche dazu punktweise Konvergenz, bei der man $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als Parameter festhaelt und nur die Existenz von

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(x) \end{eqnarray*}$

verlangt.

30.05.2017, 07:39

dieter2588

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Aber genau das habe ich doch gemacht. Den sup betrachtet wenn n gegen unendlich geht, dann ist es immer 0.

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30.05.2017, 08:02

Guppi12

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Kann ja sein, dass du das gemacht hast, das hast du uns aber nicht gezeigt. Was ist denn das Supremum für festes k?

30.05.2017, 08:35

dieter2588

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Naja bleibt halt eben x/(1+kx) und für k gegen unendlich läuft das eben immer gegen 0.

30.05.2017, 08:59

HAL 9000

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Du verstehst nicht, oder willst nicht verstehen. Nochmal ganz konkret gefragt: Wie groß ist $\begin{align*} \sup_{x\in\mathbb{R}} \left| \frac{x}{1+kx^2} \right| \end{align*}$ ? Das ist eine Zahl, die nur von $\begin{align*} k \end{align*}$ abhängt, nicht von $\begin{align*} x \end{align*}$ (denn über $\begin{align*} x \end{align*}$ wird ja das Supremum gebildet!).

Das wirst du über eine Extremwertbetrachtung der Funktion $\begin{align*} x\mapsto \frac{x}{1+kx^2} \end{align*}$ herausfinden müssen.

30.05.2017, 09:07

dieter2588

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Ich will sicherlich smile

smile

Also ist der Grundgedanke ||f_k - 0|| -> 0 für k gegen unendlich richtig.
Aber wenn ich die Ableitung bild ist diese doch immer noch von x abhängig. :/

30.05.2017, 09:18

dieter2588

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Bzw. Müsste es 1/(2sqrt(k)) für k>0 sein und da k gegen unendlich folgt der Ausdruck ggn 0 und damit gleichmäßige Konvergenz?

30.05.2017, 09:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von dieter2588
Bzw. Müsste es 1/(2sqrt(k)) für k>0 sein

Was ist "es" ? Erst mehrere Beiträge verständnislos wirken, um dann im Schweinsgalopp durchzupreschen... Also nun mal gründlich:

Ich verstehe das jetzt so, dass du $\begin{align*} \sup_{x\in\mathbb{R}} \left| \frac{x}{1+kx^2} \right| = \frac{1}{2\sqrt{k}} \end{align*}$ ausgerechnet hast, ist das so? In dem Fall wäre deine Argumentation dann richtig.

30.05.2017, 09:33

dieter2588

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Ja der sup x aus R von x/(1+kx^2).
Damit wäre ja dann gleichmäßige Konvergenz gezeigt oder?

30.05.2017, 09:36

HAL 9000

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Ja, hab ich doch gerade gesagt! Komisch, dass manche Leute erst zig Bestätigungen haben wollen.

30.05.2017, 09:40

dieter2588

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Ok, sorry. War mir nicht sicher, weil ich das quasi hatte nur das Supremum nicht explizit ausgewiesen hatte.
Danke mfg

30.05.2017, 10:38

IfindU

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Nur als Zwischenfrage an dieter: Bist du der Meinung, dass $\begin{eqnarray*} f_k(x) = \frac x k \end{eqnarray*}$ gleichmäßig auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert?

30.05.2017, 11:06

dieter2588

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Denke ja, wieso

30.05.2017, 11:08

IfindU

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Weil es nicht gleichmäßig konvergiert. Und du den gleichen Denkfehler bei der anderen Aufgabe gemacht hast, auf den man dich aufmerksam machen wollte.

30.05.2017, 11:27

dieter2588

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Aber die Folge die wir hier hatten konvergiert doch gleichmäßig.

30.05.2017, 11:30

IfindU

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Richtig, HAL hat es bewiesen. Ich wollte darauf aufmerksam machen, dass deine Argumentation nicht funktioniert. Würde sie funktionieren, so könntest du auch zeigen, dass "meine" Funktionsfolge oben gleichmäßig konvergiert. Das tut sie aber nicht.

30.05.2017, 11:49

dieter2588

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Kannst du mir dann vielleicht auch erklären wieso, damit ich das verstehe?
Ich habe doch genau das Maxima betrachtet und das für k ggn unendlich Betrachtet, hier weil es ggn 0 gleichmäßig konvergieren soll (!!) Also man 0 abzieht.

30.05.2017, 11:53

IfindU

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Sind wir uns einig, dass bei $\begin{eqnarray*} f_k(x) = \frac x k \end{eqnarray*}$ das Supremum in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ fuer festes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in\mathbb R} f_k(x) = \infty \end{eqnarray*}$ ?

30.05.2017, 12:00

dieter2588

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Ja weil egal welche reelle Zahl im Zähler steht durch k für lim k ggn unendlich =0 ist.

30.05.2017, 12:04

IfindU

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Ich kann dir nicht ganz folgen. Ich habe für festes k das Supremum in x betrachtet und unendlich heraus bekommen, dann kommt wohl ein Gedankensprung deinerseits, weil du ein festes x betrachtest, k gegen unendlich schickst, und 0 heraus bekommst.

Gegenteiliger können die Aussagen nicht sein, wenn auch beide richtig.

30.05.2017, 12:04

dieter2588

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Aber es ist doch auch nicht gleichmäßig konvergent. Habe eben nur nicht gerechnet weil dann müsste es ja auch gegen 1 gleichmäßig konvergieren aber "unendlich -1" ist nicht 0

30.05.2017, 12:11

IfindU

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Ich kann mich nur wiederholen: Ich kann dir nicht folgen. Wie kommst du darauf, dass es gegen 1 gleichmaessig konvergieren muesste?

30.05.2017, 12:20

dieter2588

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Weil es für jedes x aus R konvergieren müsste. Also ||fk-f|| ->0
Das ist die Definition für alle x aus S. Vielleicht andere Definitionen hier.

30.05.2017, 12:25

IfindU

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Es konvergiert für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Genauer: für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} f_k(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} | f_k(x) - 0 | = 0 \end{eqnarray*}$ . Das ist die Definition von punktweiser Konvergenz, nicht die der gleichmäßigen.

Die Definition von gleichmäßiger Konvergenz gegen 0 wäre $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sup_{x\in\mathbb R}| f_k(x) - 0 | = 0 \end{eqnarray*}$ .Und das ist hier nicht erfuellt.

30.05.2017, 12:57

HAL 9000

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@dieter2588

Man muss die Idee hinter gleichmäßiger Konvergenz inhaltlich, um nicht zu sagen "plastisch" begreifen:

Die $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Definition der punktweisen Konvergenz $\begin{align*} f_k(x)\to f(x) \end{align*}$ für festes $\begin{align*} x \end{align*}$ besagt, dass es einen Index $\begin{align*} k_0 \end{align*}$ gibt, so dass sich ab diesem Index $\begin{align*} k_0 \end{align*}$ die Werte $\begin{align*} f_k(x) \end{align*}$ nur noch in einem $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Intervall rund um $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ bewegen.

Das kann man nun für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ tun, und wird i.a. für jedes $\begin{align*} x \end{align*}$ ein anderes $\begin{align*} k_0 \end{align*}$ bekommen. Genau hier setzt die gleichmäßige Konvergenz an, denn die besagt, dass man ein gemeinsames $\begin{align*} k_0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ wählen kann, d.h., man kann ein " $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Band" um den Funktionsgraphen $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ ziehen, und alle Funktionsgraphen von $\begin{align*} f_k(x) \end{align*}$ für $\begin{align*} k\geq k_0 \end{align*}$ liegen dann in diesem Band!

Und bei $\begin{align*} f_k(x) = \frac{x}{k} \end{align*}$ klappt das eben nicht: Das sind alles Geraden positiver Steigung, die mit zunehmendem $\begin{align*} k \end{align*}$ zwar einen immer flacheren Anstieg haben, aber dennoch natürlich für beliebiges $\begin{align*} k \end{align*}$ und $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ an irgendeiner $\begin{align*} x \end{align*}$ -Stelle dieses $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Band durchbrechen, und damit die Bedingung der gleichmäßigen Konvergenz verletzen.

30.05.2017, 14:45

dieter2588

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Ok langsam ist es auch "inhaltlich" klar. Wenn wir das Beispiel dann berechnen haben wir das Supremum von x/k aber das wäre doch dann 1/k^2 und für k gegen unendlich geht das doch gegen 0 deswegen verstehe nicht wieso das sup von x/k gegen unendlich geht?

30.05.2017, 15:04

dieter2588

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Also was mein Problem ist wenn ich eine Extremwertbetrachtung mache kann ich die ja nicht nach x umstellen. Aber wie Folgere ich dann das sup fk(x) gleich unendlich ist?

30.05.2017, 15:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von dieter2588
das Supremum von x/k aber das wäre doch dann 1/k^2

Ich hab nicht die geringste Ahnung, wie du auf dieses absurde Ergebnis kommst: Bei einer linearen Funktion wie $\begin{eqnarray*} f_k(x)=\frac{x}{k} \end{eqnarray*}$ mit positivem Anstieg (hier: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ) ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} f_k(x)=\infty \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -\infty} f_k(x)= -\infty \end{eqnarray*}$ , und damit Unbeschränktheit dieser Funktionen eine banale Erkenntnis! Ich muss mich schon sehr wundern, dass du die in Zweifel ziehst. Erstaunt1

Erstaunt1

30.05.2017, 15:51

dieter2588

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Oha ja ich bin mittlerweile so in die definition vertieft das ich das total vergessen habe und da es unendlich ist komme ich für den grenzwert nie auf 0 richtig? Im Gegensatz zu unser anderen Funktionenfolge.

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