Kern Bild einer Abbildung

29.05.2017, 23:16

Dieter Vi

Kern Bild einer Abbildung

Meine Frage:
Hallo ich möchte wissen ob meine bisherigen Berechnungen richtig sind und wie ich die Surjektivität und Injektivität bestimme.
[attach]44546[/attach]

Meine Ideen:
Kern.)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & 6 & -4 \\ 3 & 9 & 1 \end{pmatrix} =>(2Z-2*1Z)\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 9 & 1 \end{pmatrix} =>(3Z-3*1Z)\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}=> a_3 = 0 => a_1 + 3*a_2 - 2*a_3 = 0 => a_1 + 3*a_2 = 0 => a_1 = -3*a_2 \end{eqnarray*}$
Setze $\begin{eqnarray*} a_1 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =>a_1 = 1 =>a_2 = - 1/3 =>Kern(T):=(\lambda (\begin{pmatrix} 1 \\ -1/3 \\ 0 \end{pmatrix})) \end{eqnarray*}$

Bild)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & 6 & -4 \\ 3 & 9 & 1 \end{pmatrix} =>v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} 3//6//9 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ ein vielfaches von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ ist, kann dieser weggelassen werden, daher ist das Bild
$\begin{eqnarray*} Bild(T:=(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Die Dimension des Kerns beträgt 1 und die Dimension des Bildes beträgt 2

die Bijektivität würde ich prüfen indem ich die Determinante der Abbildung berechne und falls die Abbildung Singulär ist, wäre die Abbildung nicht bijektiv. Das Problem ist nun ich weiß nicht genau wie ich die Surjektivität und Injektivität genau beweisen soll. Kann mir das jemand sagen wenn möglich genau beschreiben?

29.05.2017, 23:22

tatmas

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Hallo,

Zitat:

Abbildung Singulär ist, wäre die Abbildung nicht bijektiv.

Das musst du nicht mehr berechnen. Das hast du bereits berechnet. (Schau dir deinen Kern nochmal an)

Zitat:

Das Problem ist nun ich weiß nicht genau wie ich die Surjektivität und Injektivität genau beweisen soll.

Da ist eigentlich gar nichts mehr zu machen. Du hast bereits bewiesen, dass es beides nicht ist.
Schau dir doch noch mal scharf deinen Kern und dein Bild an.
Wie müssen die denn aussehen, wenn eine ABbildung surjektiv bzw. injektiv ist?

29.05.2017, 23:34

Dieter Vi

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Müsste der Kern nicht der Nullvektor an sich sein, damit die Abbildung Surjektiv ist?
Bei Injektiv würde ich sagen das die anzahl der Linear unabhängigen Spaltenvektoren gleich der Dimension des Bildes sein muss.

Sind die überlegungen richtig?

Ich möchte das eigentlich genau wissen, damit ich später in der Klausur kein Punktabzug bekomme, wenn du Tipps und hinweise hast wäre ich dir sehr verbunden.

29.05.2017, 23:39

tatmas

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Zitat:

Sind die überlegungen richtig?

Schau dir die Begriffe nochmal genau an. Du bist haarscharf am Richtigen vorbei.

Zitat:

Ich möchte das eigentlich genau wissen, damit ich später in der Klausur kein Punktabzug bekomme, wenn du Tipps und hinweise hast wäre ich dir sehr verbunden.

Da ist nicht viel zu wissen. Den "schwierigen" Teil hast du bereits alles richtig gemacht.
Der Tipp ist: Lerne was die Begriffe bedeuten.

29.05.2017, 23:44

Dieter Vi

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Was heißt ich bin am Richtigen Haarscharf vorbei? Ich verstehe nicht ganz genau wie du das meinst.

29.05.2017, 23:48

tatmas

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Sag mal in deinen eigenen Worten was injektiv (oder surjektiv) bedeutet.

29.05.2017, 23:53

Dieter Vi

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Kurz und knapp bedeutet Surjektiv, dass jedes Element in der Zielmenge, in dem Fall die Abbildung des Kerns einmal getroffen wird.

Injektiv, verstehe ich so, dass die Zielmenge (Bild) gleich der Ausgangsmenge(Abbildung) sein muss.

29.05.2017, 23:59

tatmas

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Kurz und knapp beides ist falsch.

Eine Abbildung ist surjektiv, wenn jedes Elements des Ziels (mind.)ein Urbild hat, d.h. von der Abbildung getroffen wird.

Eine Abbildung ist injektiv, wenn keine zwei Elemente (der Quelle) auf das gleiche Element abgebildet werden, i.a.W. jedes Element hat höchstens ein Urbild.

30.05.2017, 00:06

Dieter Vi

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Surjektivität liegt dann in diesem fall nicht vor, da der Kern nicht den Nullvektor enthält oder sehe ich das Falsch?

Injektivität müsste doch immer vorliegen, da mir spontan keine Fälle einfallen wo dies nicht der Fall ist.

30.05.2017, 00:11

tatmas

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Der Kern enthält den Nullvektor. Immer.

Und dass dir spontan(!) nichts einfällt ist kein Beweis.

Wie bereits gesagt, die Abbildung ist weder surjektiv noch injektiv.

Injektivität erkennt man am Kern, Surjektivität am Bild.

30.05.2017, 00:16

Dieter Vi

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Ich bedanke mich erstmal Gott

bei dir und werde mich nochmal mit dem Thema verstärkt auseinander setzen.
Gute Nacht Wink

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Kern Bild einer Abbildung

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