Skalarprodukt & Gleichheit von Vektoren

Neue Frage »

31.05.2017, 17:52	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt & Gleichheit von Vektoren Hi! Diesmal nur eine kurze Frage: Seien hierzu ein euklidischer Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x,p \in V , u \in V \setminus \{0\} \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} \langle x , u \rangle = \langle p,u \rangle \neq 0 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \langle \cdot , \cdot \rangle \end{eqnarray}$ ein Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Ich würde gerne $\begin{eqnarray} x=p \end{eqnarray}$ folgern, bin mir dabei aber gar nicht sicher, ob das denn überhaupt stimmt, oder, wenn es stimmt, wie ich es sehen kann. Wäre dankbar für ein Gegenbeispiel oder einen Hinweis
31.05.2017, 18:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenbeispiel $\begin{eqnarray} <\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}>=<\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}>=1 \end{eqnarray}$
31.05.2017, 18:02	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke
31.05.2017, 18:15	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist es, wenn die Gleichheit $\begin{eqnarray} \langle x,u \rangle = \langle p, u \rangle \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} u \in V \end{eqnarray}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray} \exists u' \in V : \langle x , u' \rangle \neq 0 \end{eqnarray}$ ?
31.05.2017, 18:49	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt dann. Und die Zusatzvoraussetzung ist unnötig.
31.05.2017, 19:56	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich schaue, dass ich einen Weg finde, das sauber zu zeigen. (Oder ist es so offensichtlich, dass es in einem Beweis einfach hingenommen würde?) /* Wieso ist die Zusatzvoraussetzung nicht nötig? Hier ist jetzt $\begin{eqnarray} u\in V \end{eqnarray}$ beliebig, also $\begin{eqnarray} u=0 \end{eqnarray}$ möglich. (Das habe ich nicht explizit erwähnt, wohl meine Schuld.) Und für $\begin{eqnarray} u=0 \end{eqnarray}$ wäre es ja für beliebige $\begin{eqnarray} x,p \end{eqnarray}$ wahr... / Edit: Nevermind, muss ja immer noch für alle $\begin{eqnarray} u \neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten, sorry
Anzeige

31.05.2017, 20:24	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn dir dieser Sachverhalt nicht geläufig ist, würde ich nicht sagen, dass du es ohne Beweis benutzen kannst. Der Beweis ist aber ein Einzeiler. Schreib dir die Voraussetzung mal um zu $\begin{align} \langle x-p, u\rangle = 0 \end{align}$ für alle $\begin{align} u \end{align}$ . Jetzt überleg dir, was du für $\begin{align} u \end{align}$ geschickt einsetzen kannst, um eine Information zu gewinnen.
31.05.2017, 20:40	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist ja fast ein Einzeiler: Direkt folgt ja $\begin{eqnarray} \langle x , x \rangle = \langle p , x \rangle = \langle x , p \rangle = \langle p ,p \rangle \Rightarrow \lVert x \rVert = \lVert p \rVert \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \lvert \langle x , p \rangle \rvert = \lvert \langle p , p \rangle \rvert = \lVert p \rVert ^2 = \lVert x \rVert \lVert p \rVert \end{eqnarray}$ , und laut Skript impliziert Gleichheit in der Cauchy-Schwarz Ungleichung die lineare Abhängigkeit, d.h. $\begin{eqnarray} x= \lambda p \end{eqnarray}$ für geeignetes $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} \lVert x \rVert = \lVert \lambda p \rVert \Rightarrow \lvert \lambda \rvert = 1 \end{eqnarray}$ , den Fall $\begin{eqnarray} \lambda = -1 \end{eqnarray}$ schließ ich mit der ersten Gleichheit aus. Geht bestimmt noch kürzer, aber damit bin ich erstmal zufrieden. Danke euch für die Hilfe Bem.: Jetzt habe ich so langsam getippt, dass ich deine Anmerkung erst bei der Vorschau gesehen habe :/
31.05.2017, 20:43	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist schon etwas umständlich Kürzer geht es so: $\begin{align} \\|x-p\\|^2 = \langle x-p, x-p\rangle = 0 \end{align}$ , also $\begin{align} x=p \end{align}$ . Edit: Aber dein Beweis ist natürlich auch gut
31.05.2017, 21:03	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh! Ja, das ist kürzer, und auch schöner, weil dein Beweis nicht auf einen Beweis im Skript angewiesen ist. Im Prinzip war das jetzt der eher einfache Teil der Aufgabe, mag also sein, dass ich mich hier nochmal melde. Danke nochmal

Neue Frage »

Antworten »

Skalarprodukt & Gleichheit von Vektoren

Verwandte Themen