Alle Untergruppen von Z / 256Z

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Untergruppen von Z / 256Z
Hallo Leute,

es sollen alle Untergruppen von bestimmt werden.

Nun weiß ich, dass die Ordnung einer Untergruppe die Ordnung der Gruppe teilt.
Also betrachte ich nur die Untergruppen mit Ordnung

Nun muss ich das ganze doch trennen und betrachte die Untergruppen und , richtig?

Wende ich mich erstmal der Addition zu.

Sei und .
Da das Neutralelement in U liegen muss, kommt nur in Frage.

Betrachte ich aber , gibt es ja 1023 mögliche Untergruppen, in denen die 0 liegt.
Nehme ich mir also , dann weiß ich, dass es wegen der Form ohnehin eine Gruppe ist.

Aber was ist mit ?
Hier gilt 2+0 = 2 und 2+2 = 2. Damit ist das Neutralelement nicht eindeutig bzw. es exisitert kein Inverses zu 2.

Ist der Ansatz bis hierher der richtige?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

M ist eine additive Gruppe der Ordnung 256. M ist eine zyklische Gruppe, diese Info hilft, wenn man weiß, welche Untergruppen zyklische Gruppen haben.
{0,1} ist keine Untergruppe von M, denn diese müsste auch das Element 2=1+1 enthalten. Untergruppen sind abgeschlossen gegenüber der Gruppenoperation, hier also gegenüber der Addition. Aus demselben Grund ist {0,2} keine Untergruppe von M.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ist doch eine Gruppe, oder nicht? Ich meine, dass ist doch sogar ein Körper, nämlich . Oder was werfe ich gerade durcheinander?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine zyklische Gruppe der Ordnung . Für natürliche Zahlen sind die Restklasssen und völlig verschiedene Mengen. Also kann keine Teilmenge von sein, erst recht ist keine Untergruppe von .

Mir scheint, du wirfst Mengen, Gruppen, Ringe und Körper durcheinander.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

OK, danke für den Hinweis.
Ein Gegenbeispiel wäre also die Teilmenge , denn 1+1 = 2 (und nicht 0, wie im Körper ).
Damit ist das keine (additive) Untergruppe?

Eine Untergruppe ist aber z.B. , denn 0+2=2+0=2 und 2+(-2) = (-2)+2 = 0.

€dit: Ach stimmt ja gar nicht. 2+2 = 4 fehlt...

Neuer Versuch:
Ich weiß ja, dass die Ordnung der Untergruppen ein Teiler von 256 sein muss, also eine Zweierpotenz.
Betrachte ich als Ordnung , bleibt ja nur .
Ich habe mir überlegt, dass in jeder Untergruppe ja insbesondere jedes Element mit sich selbst addiert enthalten sein muss.
Also bin ich von oben nach unten gegangen:
Betrachte ich die Ordnung 2:
Da 0+0 = 512+512 = 0 ist und 0+512 = 512, ist dies eine Untergruppe.
Für Ordnung 4 gilt:
.
Auch hier passen die Additionen.

Ich erhalte weiter:
.

Ich kann es leider nicht formal aufschreiben, warum, aber das liegt hoffentlich an der Zeit.
ist mein Weg denn nun der richtige, was die additiven Untergruppen angeht?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mit 512 die Restklasse von 512 mod 256 meinst, so ist das doch die selbe, wie die 0-Restklasse.
Also ist , das ist also keine neue Untergruppe, sondern wieder .

Du musst in eine andere Richtung denken. Lass mich dir aber sagen, dass zumindest deine Gedanken bezüglich der Restklassenarithmetik nun richtig sind. Das ist doch schon ein Fortschritt.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du gehst immer gleich mit großen Zahlen an dieses Problem heran. Sei etwas bescheidener und betrachte usw. Damit kommst du viel weiter, und wenn man weiß, dass jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe zyklisch ist, bekommt man so die komplette Lösung. Mit anderen Worten: suche nicht zuerst nach kleinen Untergruppen und dann nach großen Untergruppen, sondern suche zuerst nach kleinen Erzeugern und dann nach großen Erzeugern.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hoffe das ich eure Hinweise richtig versteheh.
Ich glaube, in der Nacht habe ich die falsche Richtung eingeschlagen smile


Ist dies der richtige Weg?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auch ein Weg, aber aus ästhetischen Gründen würde ich die Untergruppen nach ihrem "kleinsten" Erzeuger benennen, und nicht nach der Anzahl ihrer Elemente. Wenn du das vorziehst, dann aber bitte konsequent, und dann kannst du diese zyklischen Gruppen besser nennen, weil sie immer so heißen. Noch ein Tipp: wenn du eine Gruppe aufschreibst, dann immer als Paar aus Menge und Operation, niemals nur die Menge.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das ist sehr hilfreich Freude



...
So ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Knapp daneben.

forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Das sehe ich ein,
Vielen Dank dafür.

Ich weiß, wieviele Elemente jeweils meine Untergruppe haben muss (Teiler von 256) und weiß, dass sie zyklisch sein müssen (Untergruppe zyklischer Gruppe).
Gibt es einen Weg, wie ich dann sehr leicht die Erzeuger bestimmen kann ? Denn jetzt habe ich es ja quasi andersrum, also probiert wie es geht und was dann der Erzeuger ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ein Erzeuger der für ist , und damit sind alle Untergruppen der bekannt. Zu jedem Teiler von gibt es genau eine Untergruppe der Ordnung . In obigem Besipiel sieht man auch sehr schön, dass gilt, das gilt aber nur für Primzahlpotenzen .
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist das für ein Satz? Den hatten wir nämlich bisher nicht, soweit ich weiß.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

https://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Gruppe : "Der Untergruppenverband ist deshalb isomorph zum Teilerverband von ."
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

Nun bin ich aber ja damit noch nicht am Ende, denn die multiplikativen Untergruppen muss ich ja auch noch bestimmen.
Aber da hänge ich leider gerade am Transfer:

Aber ist ja nicht , denn .
Ich muss also das Inverse zu 128 bestimmen.
Sehe ich vielleicht nur wieder mal den Wald nicht vor lauter Bäumen?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso willst du die auch bestimmen? Ist das in der Aufgabe wirklich gefordert? ist selbst nicht mal eine Gruppe, sondern nur ein Monoid.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@forbin
Wenn du noch ein wenig weiter studiert hast, darfst du die Einheitengruppe des Rings bestimmen. Im Moment ist diese Aufgabe für dich eine Nummer zu groß.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja gar keine multiplikative Gruppe Hammer

Danke sehr!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genauer : ist keine Gruppe .
Die Einheitengruppe ist eine Gruppe. Die Menge der Einheiten ist die Menge der invertierbaren Elemente von .
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabe steht "Bestimmen Sie alle Untergruppen von Z/1024Z.
Habe nicht daran gedacht, dass dies ja gar keine multiplikative Gruppe ist. Hammer
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