Signum Funktion

02.06.2017, 14:59

Manuel7237

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Signum Funktion

Hallo, ich hänge bei folgender Aufgabe: Beweisen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= sign (x) x^2 \end{eqnarray*}$ ist diffbar in 0 ist und berechnen sie die Ableitung.

Für den Beweis hätte ich an die h- Methode gedacht. $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)- f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\pm h^2 -0}{h} = \lim_{h \to 0} \pm h =0 \end{eqnarray*}$ Kann das stimmen?

Die Ableitung würde ich nach Produktregel berechnen: $\begin{eqnarray*} f'(x) = sign'(x) * x^2 + sign(x) * 2x \end{eqnarray*}$ Da sign(x) entweder 0 +1 oder -1 ist, muss sign'(x) =0 sein. Also $\begin{eqnarray*} f'(x)= 2x sign(x) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ist alles mathematisch korrekt ? smile

smile

02.06.2017, 15:12

HAL 9000

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Der erste Teil

Zitat:

Original von Manuel7237
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)- f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\pm h^2 -0}{h} = \lim_{h \to 0} \pm h =0 \end{eqnarray*}$

ist halbwegs korrekt. Sauberer wäre es, statt des $\begin{align*} \pm \end{align*}$ links- und rechtsseitigen Grenzwert getrennt zu betrachten.

Das hier

Zitat:

Original von Manuel7237
$\begin{eqnarray*} f'(x) = sign'(x) * x^2 + sign(x) * 2x \end{eqnarray*}$

geht so nicht, jedenfalls nicht für $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ : Die Produktregel $\begin{align*} (uv)'=u'v+uv' \end{align*}$ ist nur anwendbar, wenn beide Ausgangsfunktionen differenzierbar sind.
Das trifft auf $\begin{align*} \operatorname{sign}(x) \end{align*}$ in diesem Punkt $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ nicht zu. unglücklich

unglücklich

Die Frage ist: Warum überhaupt dieser zweite Zugang? Der erste oben genügt doch.

02.06.2017, 15:22

Manuel7237

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Danke HAL für deine Antwort. Also dann nochmal korrekt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h)- f(0) }{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2 - 0 }{h} = \lim_{h \to 0^+} h = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h)- f(0) }{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h^2 - 0 }{h} = \lim_{h \to 0^+} -h = 0 \end{eqnarray*}$

Wie kriege ich die Ableitung jetzt hin verwirrt

verwirrt

So vllt: Für x>0 $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)- f(x) }{h} = \lim_{ h \to 0} \frac{x^2 +2hx +h^2 -x^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} 2x + h = 2x \end{eqnarray*}$

Wie kriege ich das für x<0 hin?

02.06.2017, 15:25

HAL 9000

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Ach jetzt verstehe ich dich erst: Die zweite Zeile $\begin{align*} f'(x) = \operatorname{sign}'(x) \cdot x^2 + \operatorname{sign}(x) \cdot 2x \end{align*}$ soll nur für $\begin{align*} x\neq 0 \end{align*}$ gelten, also alle anderen Fälle? Das musst du deutlich betonen!

In dem Fall ist es korrekt, du hast damit $\begin{align*} f'(x) = 2x\operatorname{sign}(x) \end{align*}$ für $\begin{align*} x\neq 0 \end{align*}$ nachgewiesen. Vorher hast du ja auch durch die Extrabetrachtung $\begin{align*} f'(0)=0 \end{align*}$ gezeigt, das passt sich (Zufall oder nicht) da mit ein, d.h., $\begin{align*} f'(x) = 2x\operatorname{sign}(x) \end{align*}$ gilt für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ , inklusive Null.

02.06.2017, 15:31

Manuel7237

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Ja genau.Sry für meine Nachlässigkeit. Jetzt wollte ich die Ableitung mit der h. Methode nochmal zum Verständnis nachweisen. Was ich in dem Fall für x<0 einsetzen soll, weis ich leider nicht?

02.06.2017, 15:38

HAL 9000

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Was die h-Methode betrifft: Für $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ gilt dein Einsetzen $\begin{align*} f(x+h)=(x+h)^2 \end{align*}$ ja auch nur, wenn $\begin{align*} x+h>0 \end{align*}$ ist (zur Erinnerung: $\begin{align*} h \end{align*}$ darf ja auch negativ sein!!!), d.h., $\begin{align*} h \end{align*}$ darf nicht "zu" negativ werden. Das ist an sich kein Problem, denn im Zuge des Grenzübergangs ist das $\begin{align*} x+h>0 \end{align*}$ dann irgendwann stets erfüllt.

Genauso verhält es sich bei $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ : Da ist $\begin{align*} f(x)=-x^2 \end{align*}$ und sofern $\begin{align*} h \end{align*}$ betragsmäßig klein genug ist, ist auch $\begin{align*} x+h<0 \end{align*}$ und somit $\begin{align*} f(x+h)=-(x+h)^2 \end{align*}$

--------------------------------------------------------------------

Eine andere Möglichkeit wäre, von vornherein auf Fallunterscheidung hinsichtlich der Signumfunktion zu setzen: Es ist

$\begin{align*} f(x) = \begin{cases} x^2 &\;\mbox{für}\; x\geq 0\\ -x^2 &\;\mbox{für}\; x\leq 0\end{cases} \end{align*}$ ,

das ergibt

$\begin{align*} f'(x) = \begin{cases} 2x &\;\mbox{für}\; x>0\\ -2x &\;\mbox{für}\; x<0\end{cases} \end{align*}$ ,

wobei die entsprechenden Terme $\begin{align*} 2x \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} -2x \end{align*}$ im Nullpunkt als dann "nur" rechts- bzw. linksseitiger Ableitungswert auch noch zutreffen. Zusammen mit der Definition der Signumfunktion kann man dieses Ergebnis dann wieder zu jenem $\begin{align*} f'(x) = 2x\operatorname{sign}(x) \end{align*}$ "zusammenkleben".

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02.06.2017, 15:45

Manuel7237

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achso. D.h damit alles korrekt ist muss ich auch noch x+h > 0 festlegen für x>0. Wenn ich jetzt für x<0 und x+h<0 die h-Methode anwende komme ich auf folgendes: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{-x^2 - 2xh - h^2 - (-x^2)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{ - 2xh - h^2 }{h} = \lim_{h \to 0} -2x -h = -2x \end{eqnarray*}$

Danke HAL smile

smile

Dann müsste alles klar sein smile

smile

02.06.2017, 15:52

Manuel7237

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Vllt doch noch was: Wenn ich jetzt zu der Funktion f noch eine Funktion g=x^2 habe. Ich soll sie auf lineare Unabänigkeit testen. Die Wronski-Determinante ist 0, also keine Aussage. Wie kann ich dann weiter testen?

02.06.2017, 15:55

HAL 9000

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(ungelesen, und damit für die Katz -> gelöscht)

02.06.2017, 16:01

Manuel7237

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Sorry HAL wie meinst du das?

02.06.2017, 16:04

HAL 9000

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(ungelesen, und damit für die Katz -> gelöscht)

02.06.2017, 16:13

Manuel7237

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Ok dumm von mir smile

smile

Aber gilt das dann für alle x?

02.06.2017, 16:55

HAL 9000

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(ungelesen, und damit für die Katz -> gelöscht)

02.06.2017, 20:39

Manuel7237

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Danke aber wieso reicht bei der linearen Unabhängigkeit der Nachweis von nicht allen x?

02.06.2017, 20:44

HAL 9000

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(ungelesen, und damit für die Katz -> gelöscht)

02.06.2017, 23:04

Manuel7237

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Es tut mir leid HAL. Ich wollte das nicht. Ich hätte mir den Nachweis der lin. Unabhängigkeit für alle x durch einen Widerspruchsbeweis erklärt: Sei $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a\cdot sign(x) x^2 = - b\cdot x^2 \end{eqnarray*}$
Dann $\begin{eqnarray*} sign (x) = \frac{-b}{a} \end{eqnarray*}$
und das ist der Widerspruch, da die rechte Seite ja konstant ist.

02.06.2017, 23:41

HAL 9000

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Na Ende gut alles gut - obwohl ich mich schon irgendwie ausgelaugt und veralbert vorkomme.

02.06.2017, 23:49

Manuel7237

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Danke HAL für deine Mühe Freude

Freude

smile

02.06.2017, 23:54

HAL 9000

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Mal sehen, was du dann machst, wenn mal mehr als zwei Funktionen auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen sind.

03.06.2017, 00:01

Manuel7237

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Da funktioniert mein Widerspruchsbeweis wohl nicht mehr. Ich habe verstanden, dass für ein paar x gilt $\begin{eqnarray*} a=b=c...=0 \end{eqnarray*}$ dann sind die Funktionen lin unabhängig.

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