Orthogonales Komplement

03.06.2017, 00:32

Babelibub

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Orthogonales Komplement

Meine Frage:
Hallo alle zusammen,
ich glaube solch eine Frage wurde/ wird auf dieser Plattform ständig gestellt, doch ich möchte aufgrund einer Prüfung sicher gehen und dachte mir das ich euch einmal frage.
Es geht um das orthogonale Komplement.
Die Aufgabe lautet wie folgt:

Es seien der Vektorraum $\begin{eqnarray*} P_{1}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ der reellen Polynome vom Grad kleiner als oder gleich 1 und die Abbildung
$\begin{eqnarray*} \langle . \,,. \rangle : P_{1}(\mathbb{R}) \times P_{1}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} , (p,q) \rightarrow \langle p , q \rangle := p(0)q(0) + p(1)q(1)<br /> \end{eqnarray*}$ gegeben
Ich soll nun folgende Aufgabe lösen:
Es sei das Polynom $\begin{eqnarray*} m_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow x \end{eqnarray*}$ gegeben. Bestimmen Sie das orthogonale Komplement $\begin{eqnarray*} \{ m_{1} \}^{\perp} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} m_{1} \, \, \text{in} \, \, (P_{1}(\mathbb{R}), \langle . \, , . \rangle \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe ein bisschen im Internet geschaut und muss auch gleich dazu sagen, das mir der Begriff des orthogonalen Komplements unbekannt ist. Deswegen suchte im Internet nach möglichen Ansätzen und Definitionen.

Meine Idee speziell bei dieser Aufgabe wäre es, mein Polynom $\begin{eqnarray*} m_{1} \end{eqnarray*}$ zusammen mit meinem Skalarprodukt in Verbindung zu bringen.
$\begin{eqnarray*} \langle p , x \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ und analog mit q. Jedoch ist das doch irrsinnig, das die Lösung trivialer weise mir nur ein Nullpolynom gibt. Von der Dimension müsste ich theoretisch die Dimension meines orthogonalen Komplements 1 sein. (Stimmt das?). Aber wie komme ich darauf?

03.06.2017, 00:41

Babelibub

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Ich habe gerade noch eine Idee.

Ich kann ja ein Beispiel Polynom mir nehmen welches aus wie folgt besteht:

$\begin{eqnarray*} P_{1} = a + a_{1} \cdot x \end{eqnarray*}$ mit diesem Polynom und meinem anderem Polynom $\begin{eqnarray*} m_{1} \end{eqnarray*}$ kann ich ja das Skalarprodukt bilden.

$\begin{eqnarray*} \langle P_{1} , x \rangle = a \cdot x + (a + a_{1}) \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$

Aber ich merke gerade, das führt mich wieder zu meiner trivialen Lösung von 0

Bitte helft mir liebe Leute, ich wäre euch sehr dankbar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.06.2017, 00:52

Helferlein

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Wie kommst Du darauf, dass $\begin{align*} <p,x>=0 \end{align*}$ nur für $\begin{align*} p \equiv 0 \end{align*}$ erfüllt ist verwirrt

verwirrt

Es ist doch $\begin{align*} <p,x>=p(0) \cdot 0 + p(1) \cdot 1 \end{align*}$ . Welche Bedingung wird also an p gestellt, damit das Skalarprodukt mit x Null ergibt?

03.06.2017, 16:28

Babelibub

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Viele Dank für deine Antwort.
Ich meinte mir der trivialen Lösung, das x, als $\begin{eqnarray*} \{ m_{1} \} = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss aber das ist ja quatsch.
Achso, mhhhhh.... Ja total blöd von mir. x liegt ja sowohl in meinem Skalarprodukt als auch von meinem Polynom in R. Somit sind diese x identisch.

Ok, also wenn ich das Skalarprodukt nehme, wie du es getan hast, folgt ja, das mein $\begin{eqnarray*} p(1) = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss. Somit weiß ich, das $\begin{eqnarray*} p_{1} = x -1 \end{eqnarray*}$ sein muss.
Ich habe gerade überlegt wie ich das in dem Einklang mit dem Polynom kleiner als eins im Einklang bringen kann.

Aber was ist dann mein orthogonales Komplement? Bzw wie gebe ich das an?

03.06.2017, 17:55

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \{x\}^{\perp}=\{(x-1)q(x):grad(q(x))=0\}=... \end{eqnarray*}$ ist ja nun nicht mehr so schwer.

03.06.2017, 18:10

Babelibub

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Ok,
ich verstehe nicht ganz den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} :grad(q(x)) \end{eqnarray*}$ . Also warum interessiert mich der grad(q(x))?

ich denke einmal, das in deiner Ausführung dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \{ x \}^{\perp} = 1 \end{eqnarray*}$

oder??

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03.06.2017, 18:19

Babelibub

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Entschuldige das ich mich so bescheuert anstelle, aber ich hatte solch ein Thema noch nicht und es ist meine erste Aufgabe bezüglich solch eines Themas. Deswegen bin ich mit dem ganzem Vorgehen noch nicht so vertraut. unglücklich

unglücklich

03.06.2017, 18:24

Elvis

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Zitat:

Original von Babelibub
ich denke einmal, das in deiner Ausführung dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \{ x \}^{\perp} = 1 \end{eqnarray*}$

Nein.

In deiner Aufgabe hast du den Vektorraum der reellen Polynome vom $\begin{eqnarray*} grad \end{eqnarray*}$ kleiner oder gleich 1. Was ist dann wohl $\begin{eqnarray*} grad(q(x)) \end{eqnarray*}$ für ein Polynom $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ ?
Ich hoffe, du hast schon bemerkt, dass $\begin{eqnarray*} grad(x-1)=1 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ hast du ins Spiel gebracht, da dachte ich das sei Absicht..

03.06.2017, 22:58

Babelibub

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Achso, also kann ja mein q(x) sowohl den Grad 1 oder 0 besitzen.
Ich stehe gerade auf dem Schlauch, wie hilft das jetzt bei meinem orthogonalem Komplement?

03.06.2017, 23:01

Babelibub

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Ja, $\begin{eqnarray*} p_{1} = x-1 \end{eqnarray*}$ brachte ich ins Spiel, da es ja mit dem Skalarprodukt null wird.

Ahh ich bin so bescheuert heute. Mein orthogonales komplement ist ja gleich dem $\begin{eqnarray*} p_{1} = x-1 \end{eqnarray*}$

03.06.2017, 23:14

Helferlein

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Nein, ist es nicht. Schon allein deshalb nicht, weil das Orthogonale Komplement einen Untervektorraum bildet und der kann niemals nur einen Vektor enthalten, sofern es nicht der Nullraum ist.
Welche Funktionen kennst Du noch, die bei x=1 eine Nullstelle haben und weder die Nullfunktion, noch die Funktion f(x)=x-1 sind?

03.06.2017, 23:49

Babelibub

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Jede Funktion vom grad(p) = n also:
$\begin{eqnarray*} p_{1} = x^{n} - 1 \end{eqnarray*}$ besitzt ja bei x = 1 eine Nullstelle.
Also erfüllt demnach jede Funktion $\begin{eqnarray*} p_{1} \end{eqnarray*}$ die Bedingung, das mein Skalarprodukt Null wird.

03.06.2017, 23:54

Babelibub

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Deine Aussage, das der Untervektorraum niemals nur ein Element enthalten kann finde ich gerade sehr interessant und total logisch aber man hat sich vorher noch nie so Gedanken darüber gemacht

04.06.2017, 11:10

Elvis

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Ich gebe auf. Helfen ist nur möglich, wenn Hilfe angenommen wird.

04.06.2017, 17:48

Helferlein

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Zitat:

Original von Babelibub
Jede Funktion vom grad(p) = n also:
$\begin{eqnarray*} p_{1} = x^{n} - 1 \end{eqnarray*}$ besitzt ja bei x = 1 eine Nullstelle.
Also erfüllt demnach jede Funktion $\begin{eqnarray*} p_{1} \end{eqnarray*}$ die Bedingung, das mein Skalarprodukt Null wird.

Und das sind alles Funktionen in $\begin{align*} P_1(\mathbb{R}) \end{align*}$ ? geschockt

geschockt

Ich konkretisiere noch einmal: Welche Funktionen des Typs $\begin{align*} f(x)=ax+b \end{align*}$ haben bei x=1 eine Nullstelle?

04.06.2017, 23:43

Babelibub

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Was habe ich falsch gemacht Elvis? Es tut mir leid....

Also die Funktion, so wie du sie hingeschrieben hast Helferlein hat natürlich unendlich viele Lösungen solange gilt:
$\begin{eqnarray*} a = -b \end{eqnarray*}$ aber ich dachte wir....

Ahh nein ich habe die eigentliche Aufgabe iwieder aus den Augen verloren...

Also gilt für alle meine Funktionen die die Form: $\begin{eqnarray*} P_{1} = -a \cdot x^{n} + a \end{eqnarray*}$ bzw.

$\begin{eqnarray*} P_{1} = a \cdot x^{n} - a \end{eqnarray*}$

Dass, das Skalarprodukt Null wird, was ja die Bedingung von für das orthogonale Komplement war.

05.06.2017, 00:19

Helferlein

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Ich kann Elvis eigentlich nur zustimmen: Du machst extrem langsame Fortschritte und das, wo es um recht elementare und einfache Zusammenhänge geht.

Meinen Einwand von oben hast Du zum Beispiel überhaupt nicht beachtet:

Zitat:

Original von Helferlein
Und das sind alles Funktionen in $\begin{align*} P_1(\mathbb{R}) \end{align*}$ ? geschockt

geschockt

a=-b ist richtig, aber welchen Grad dürfen die gesuchten Funktionen maximal haben? Wieso kann dann $\begin{align*} ax^n-a \end{align*}$ nicht für beliebige n in Frage kommen

05.06.2017, 00:35

Babelibub

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Ja entschuldige, wie schon gesagt, das orthogonale Komplement ist mir noch nicht sehr geläufig. unglücklich

unglücklich

Aber ich bedanke mich für deine Geduld und das du mir sehr tatkräftig zur seite stehst viele Dank.

Ahh ja Pardon, natürlich ist von der Aufgabe nur gegeben, das alles Polynome kleiner gleich 1 gesucht werden. Deswegen ist mein n ja entweder 0 oder 1.

So jetzt müsste ich aber alles haben oder?

05.06.2017, 01:37

Helferlein

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Wie lautet denn nun das orthogonale Komplement?
Ich denke, dass Du jetzt alles hast, aber die Frage ist halt, in wie weit Du das auch wirklich verstanden hast und das erkenne ich vermutlich am orthogonalen Komplement.

05.06.2017, 13:38

Babelibub

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Das war ja auch zum Teil meine Hauptfrage, wie ich das aufschreibe.

Also ich würde es jetzt wie folgt schreiben:

$\begin{eqnarray*} \{ x^{\perp} \} = \{x,a \in \mathbb{R}: ax^{n} - a\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \leq 1 \end{eqnarray*}$

05.06.2017, 13:58

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \{ x^{\perp} \} \end{eqnarray*}$ falsch
$\begin{eqnarray*} \{x\in \mathbb{R}: ...\} \end{eqnarray*}$ falsch
mit $\begin{eqnarray*} n \leq 1 \end{eqnarray*}$ falsch

05.06.2017, 14:04

Babelibub

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wie schreibt man es dann auf?

05.06.2017, 14:05

Babelibub

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ich wäre dir sehr dankbar wenn du es dann einmal richtig aufschreiben würdest, damit ich weiß wie es aussehen muss.

05.06.2017, 14:30

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \{x\}^{\perp}=\{(x-1)q(x):grad(q(x))=0\}=\{a(x-1):a\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$

Das war doch schon lange klar. Polynome q(x) vom Grad 0 sind konstant.

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