Gruppe, Isomorphie, Normalteiler...

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe, Isomorphie, Normalteiler...
Hallo,

ich habe eie Aufgabe mit mehreren Unteraufgaben, die ich gerne abarbeiten möchte.
Ich hoffe, der Titel ist nicht zu verwirrend.

Zitat:
Sei G Gruppe, ord(G) = 6.
a) Angenommen, es gibt ein Element in G, welches die Ordnung 6 hat. Zeigen Sie: Dann gibt es einen Isomorphismus


Meine Ideen:
Sei und

Nun fasse ich auf.
Dann finde ich den Isomorphimus

Ist das so ok?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht in Ordnung. Du weißt, dass zum Beispiel .
Was verstehst du dann unter ? oder was ? Was ist ?
Bestenfalls hast du hier eine Bijektion zwischen zwei gleichmächtigen Mengen konstruiert. Woher weißt du, dass dies dann ein Gruppenisomorphismus ist ? Ist isomorph zu ?
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Mit z meinte ich die Elemente aus Z/6Z.
Und nun war mein Plan, diese sechs Elemente jeweils als Exponent aufzufassen.
Dann habe ich den Isomorphismus doch nicht verstanden, wie ich eigentlich dachte unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du, so wie ich, auch nicht weißt, was sein soll, haben wir noch nichts verstanden. Das kann nur besser werden.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich muss zurückrudern:

Ich denke, mein Fehler ist, dass ich Z/6Z als Menge {0,1,2,3,4,5} auffasse.
Allerdings lasse außer Acht, dass dies ja nur Vertreter sind.

Zielt dein Einwand darauf ab?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sind mindestens 2 Fehler auf einmal. Du fasst die Gruppe (Z/6Z,+) nur als Menge Z/6Z auf und du schreibst auch noch falsche Elemente hin, die nicht in dieser Menge enthalten sind.
 
 
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, ich will ja daraus lernen, aber im Moment weiß ich leider wirklich nicht weiter.
Es ist ja nach einem Isomorphismus von Z/6Z nach G gefragt.
Nun ist doch und damit eine endliche Menge?

Meine Zielmenge ist .
Da G eine zyklische Gruppe ist, gilt:

Nun ist aber auch

Stimmt das soweit ?

Nun sei

Sei
Also bilde ich:

Habe ich damit eine bijektive Abbildung formal richtig beschrieben?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann gar nicht genug darüber nachdenken, eines Tages wirst du dann verstehen.

Das kann nicht sein : Hier verwendest du z auf zwei unterschiedliche Arten, einmal als Restklasse, einmal als ganze Zahl.
Und genau dieser Fehler führt dazu, dass das nicht definiert ist :

4 konstruktive Hinweise (damit du nicht denkst, ich sei zu Pfingsten destruktiv): Du brauchst eine Abbildung, die jeder Restklasse eine Potenz zuordnet. Der Begriff "Vertreter" ist dir bekannt, benutze ihn, um die Abbildung zu definieren. Dann musst du nur noch beweisen, dass diese Abbildung wohldefiniert, bijektiv und homomorph ist.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Sind diese Aussagen richtig?


Dies ist eine Restklasse.
Ein Vertreter dieser Restklasse ist die 0, aber genauso auch 6 und -6
?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig ist



Dies ist eine Restklasse.
Ein Vertreter dieser Restklasse ist die 0, aber genauso auch 6 und -6 und jedes andere Element aus
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

OK, vielen Dank.
Und damit gehe ich nun nochmals an das Problem heran: Ich suche einen Isomorphismus bzw. .

So, nun kann ich aber nicht bilden, da ich mit der eine Restklasse betrachte.

Habe ich deinen Einwand damit bisher richtig "bearbeitet"?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von forbin
So, nun kann ich aber nicht bilden, da ich mit der eine Restklasse betrachte.


Bisher hast du immer versucht, einem ein zuzuordnen. Das ging nicht, weil nicht in dieser Menge liegt. Jetzt hast du zum allerersten mal etwas richtig gemacht, indem du der Restklasse die Potenz zuordnest, indem du diese Potenz von mit dem kleinsten nichtnegativen Vertreter bildest. Es ist sehr schade, wenn du nun nicht stolz auf dich bist, sondern diesen richtigen Ansatz für falsch hältst. Big Laugh
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt:
bildet alle Elemente aus auf ab, alle Elemente aus auf und so weiter?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, warum sollte irgend eine Abbildung das tun ? Du musst eine Abbildung so definieren, wie du sie benötigst und die Eigenschaften beweisen, die sie haben soll.
Frei nach Pippi Langstrumpf: "Zwei mal drei macht vier, widewidewitt und drei macht neune, ich mach mir die Welt, widewide wie sie mir gefällt."
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, da steige ich nicht hinter.

Aber vielen Dank für die hilfe bisher!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Warum nicht ? Ist doch ganz einfach, und du hast den richtigen Anfang gemacht, und ich habe dir schon weitere Tipps gegeben ...

Wähle aus jeder Restklasse den kleinsten nichtnegativen Vertreter aus und bilde mit einem Element die Potenz In Kurzform definiert man
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ist doch wieder eine Menge (Restklasse), und kein Element verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

. Die Elemente dieser Menge sind Restklassen, diesen wird je eine Potenz von zugeordnet. Offensichtlich wohldefiniert, offensichtlich bijektiv.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche es mal. danke
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Brauchst du nicht versuchen, ist schon fertig. Du musst nur noch die Homomorphie beweisen. Ein Einzeiler ... aber Vorsicht: der Einzeiler ist tückisch und muss gut begründet werden, indem man auf die Definition der Abbildung zurückgreift.

Auf geht's, wann soll die Erleuchtung kommen, wenn nicht zu Pfingsten. Gib nicht auf, diese Aufgabe ist wichtig.

Wenn du die Aufgabe und ihre Lösung verstanden hast, wirst du wissen, warum die zyklische Gruppe bis auf Isomorphie die einzige zyklische Gruppe der Ordnung ist. Das ist der Schlüssel zum Verständnis der zyklischen Gruppen und auch der Schlüssel zum Verständnis der abelschen Gruppen, weil die abelschen Gruppen sich nach überschaubaren Gesetzen aus zyklischen Gruppen zusammensetzen (Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen und Elementarteiler-Theorem). Ohne abelsche Gruppen wirst du niemals die Klassenkörpertheorie verstehen, du weißt gar nicht, was dir entgeht.
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