Konvergenz einer Funktion in einer definierten Metrik zeigen |
| 05.06.2017, 18:50 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Konvergenz einer Funktion in einer definierten Metrik zeigen Also ich habe schon gezeigt, dass das auch wirklich eine Metrik ist. Ich stehe da gerade voll auf dem Schlauch, bzw. denke zu kompliziert. Also die Konvergenz in Normierten Räumen kann ich gut beweisen... . Also könnte mir vielleicht jemand bitte einen guten Ansatz zeigen, bzw. einen kleinen Gedankenanstoß geben. 
Bitte nicht direkt die Lösung!Meine Ideen: Meine Idee wäre, dass ich das Cauchy-Kriterium anwende, also d(x_n,y_n) < Epsilon. Aber kann das richtig sein? Und wenn ja wie mache ich das am besten? |
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| 05.06.2017, 18:51 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| *Nachtrag: Bzw. die Funktion ist ja beschränkt, also reicht es vielleicht einfach nicht, dass ich zeige, dass sie monoton in dem geg. Raum ist? |
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| 05.06.2017, 19:21 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Cauchykriterium hilft dir hier nicht weiter, weil du nicht weißt, ob der betrachtete Raum vollständig ist. Selbst wenn es sich um eine Cauchyfolge handeln würde, müsste sie also nicht konvergieren. Ehrlich gesagt verstehe ich nicht, was du mit Beschränktheit und Monotonie hier willst. Wir haben hier keine Folge in . Du müsstest erstmal sagen, was du überhaupt damit meinen willst, dass die Folge monoton ist. Auch dann sähe ich aber nicht, wie einem das weiterhelfen soll. Beschränkt und monoton impliziert Konvergenz in für jeden anderen Monotoniebegriff wissen wir darüber erst mal garnichts. Hast du dir mal die ersten paar Folgenglieder hingemalt? Hast du zumindest eine Idee, wogegen die Funktion konvergieren könnte? Anders wirds hier schwer. Etwas Intuition ist gefragt! |
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| 05.06.2017, 19:33 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja stimmt, wir sind ja im Vektorraum, der anders definiert ist. Ja, ich habe mir sie ein wenig aufgezeichnet, außer dass ich mit dem k nicht richtig zurecht komme. |
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| 05.06.2017, 19:34 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Setze für mal ein. Du erhälst vier verschiedene Funktionen. Zeichne dir die alle mal auf. |
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| 05.06.2017, 19:45 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Klar die konvergieren gegen 1. |
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| 05.06.2017, 19:51 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du deine Skizzen hier hochladen? |
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| 05.06.2017, 19:53 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das was sich dabei zeigt, ist, dass je mehr Funktionen hinzukommen, also k -> unendlich, desto höher steigt der Ausschlag der Funktion, wobei er jedesmal um eine Zahl nach rechts "wandert" und aber jedesmal auf die 1 zurück fällt. |
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| 05.06.2017, 19:55 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wieso konvergiert die Folge dann gegen Eins? Ich gehe hier mal davon aus, dass du die Einsfunktion meinst. Wenn sich die Funktion immer weiter von der Einsfunktion entfernt, warum soll sie dann dagegen konvergieren? |
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| 05.06.2017, 20:04 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jep kann ich, ich hoffe das man es erkennen kann, ich habe es jetzt auch nicht so genau gezeichnet, bitte verzeih mir. irgendwie kann ich es nicht hochladen 
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| 05.06.2017, 20:11 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja die haben folgende Funktionswerte: f(1) = 0,0,1,1,1..... f(2) = 0,0,1,1,1.... f(3) = 0,0,0,2,1,1,1,.... f(4) = 0,0,0,0,3,1,1,1.... für x -> unendlich deshalb meine ich das, so habe ich es dann auch aufgezeichnet. |
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| 05.06.2017, 20:30 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könnte ich damit sagen, dass die Funktionsfolge punktweise gegen die Grenzfunktion f(x)=1 konvergiert? |
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| 05.06.2017, 20:47 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe deine Tabelle nicht. Was ist in ? Wie kann das gleich eine ganze Reihe von Werten sein? |
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| 05.06.2017, 21:04 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das k gibt doch nur eine Funktion von der Funktionsfolge an, oder? Genau ist das dann und für diese eine Funktion sind die Werte hinter f(1) die Funktionswerte. Die frage ist nur, wie kann ich jetzt schriftlich beweisen, ob diese Funktionsfolge konvergiert in der Metrik? |
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| 06.06.2017, 10:22 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Reicht es nicht einfach punktweise Konvergenz zu zeigen? |
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| 06.06.2017, 11:06 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Konvergenz einer Funktion in einer definierten Metrik zeigen Es reicht nicht. Aber bzgl. impliziert, dass punktweise konvergiert. Übrigens kommt die Metrik von einer Norm, nämlich von . Also wenn dir mit normierten Räumen wohler ist, kannst du die nehmen -- nimmt sich natürlich nichts. |
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| 06.06.2017, 18:50 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso klar, dann muss ich noch die gleichmäßige Konvergenz zeigen oder? |
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| 06.06.2017, 19:19 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gleichmaessige Konvergenz wuerde Konvergenz in implizieren -- aber deine Folge konvergiert nicht gleichmaessig. Und hast du inzwischen den punktenweisen Grenzwert ermittelt? |
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| 06.06.2017, 19:37 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja deshalb, punktweise würde f(x) = 1 herauskommen und das würde wiederum bedeuten dass sie nicht gleichmäßig konvergiert weil exp(-x) gegen 0 strebt. Somit käme -1 raus und das ist ungleich null. Also ist die Funktion mit der Metrik nicht konvergent? |
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| 06.06.2017, 19:57 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zum Beispiel für gilt für alle . Also konvergiert die Folge im Punkt schon mal sicherlich nicht gegen die Einsfunktion. Überleg noch mal gegen welche Funktion hier wirklich punktweise Konvergenz vorliegt. |
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| 06.06.2017, 20:07 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich stehe voll auf dem Schlauch, mir fällt nichts mehr dazu ein, ich habe die ja gezeichnet, aber irgendwie sagt mir dass auch nicht viel... |
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| 06.06.2017, 20:11 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe irgendwie das Gefühl, dass du bei deinen Betrachtungen für festes das gegen unendlich laufen lässt. Das ist genau falsch herum. Fixiere ein und schau dir an, was macht für . Das ist wirklich nicht zu schwer und wenn du es nicht siehst, musst du noch länger drauf starren, da hilft alles nichts. |
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| 06.06.2017, 20:27 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, ich mache das jetzt hier mal schriftlich: für x = 1, k -> unendlich: f_1(x) = {0; 0<= x < 1 {x-1; 1 <= x < 2 {1; x >= 2 f_2(x) = {0; 0<= x < 2 {x-2; 2 <= x < 3 {1; x >= 2 f_3(x) = {0; 0<= x < 3 {x-3; 3 <= x <4 {1; x >=4 . . . Das bedeutet doch gerade, das für alle Funktionen mit x = 0 gegen 0 konvergieren oder? Jetzt mal für x = 1: hier wären auch alle 0 usw. Also konvergiert die Folge gegen 0? |
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| 06.06.2017, 20:39 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da müsste jetzt so stimmen oder? |
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| 06.06.2017, 21:07 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann würde ich weiter begründen: Da ||f|| := supr exp(-x)|f(x)| gilt, folgt: lim ||f_n - f|| = lim ||f_n|| = exp(-unendlich)|f(unendlich)| ist ungleich null. n -> unendlich Somit nicht gleichmäßig konv. -> Funktionsfolge ist nicht konvergent. |
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| 06.06.2017, 21:38 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hä? Kannst du das einmal ausführlich aufschreiben? So, wie du es auch abgeben würdest? |
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| 06.06.2017, 21:56 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(1) punkt. K. : Es muss gezeigt werden, dass lim n->unendlich f_n(x) = f(x) und f(x) stetig ist. Bew.: Sei x von R+. -> f(x) = lim k->unendlich f_k(x) = 0, da für ein beliebig fest gewähltes x, die Funktionsfolge ab einem bestimmten Folgenglied gegen 0 konvergiert. Somit ist f(x) = 0 und stetig. (2) gleich. K. : Es muss gezeigt werden, dass lim n->unendlich ||f_n - f|| = 0 ist. Da ||f||:= sup{exp(-x)|f(x)|} gilt, folgt lim ||f_n - f|| = lim ||f_n|| = lim sup{exp(-x)|f_n(x)|} = 0. Somit ist sie gleich. und pkt. konvergent. |
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| 06.06.2017, 22:00 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das würde ja gerade Konvergenz in der Metrik zeigen, nicht nur punktweise Konvergenz. Ist ja auch gut so, denn das willst du. Aber wie begründest du die Zeile darüber? |
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| 06.06.2017, 22:07 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"lim ||f_n - f|| = lim ||f_n|| = lim sup{exp(-x)|f_n(x)|} = 0." Würde ich so begründen, da wir in der punktweisen K. ist das eigentlich ähnlich gezeigt haben, ist das im Betrag sowieso 0, muss 0 sein und damit kann ||f_n|| nur 0 sein. |
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| 06.06.2017, 22:13 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn es Null sein muss, kannst du das doch auch ordentlich beweisen. Fang damit an, für festes explizit anzugeben. Das musst du ja im Kopf schon ausgerechnet haben, wenn es klar ist, dass der Ausdruck gegen Null konvergiert. |
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| 06.06.2017, 22:17 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sei k fest gewählt, dann bedeutet gerade das Supremum, dass ich den Größten Funktionswert (x) mir wähle und anschaue wie dieser sich zum k verhält. Dabei erkennt man, dass exp(-x) für das größte x immer gegen 0 konvergiert, da exponentielles Wachstum stärker ist. Somit ist der Ausdruck 0. |
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| 06.06.2017, 22:29 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Supremum ist für festes k sicher nicht Null. Denk darüber nochmal nach. Zum Beispiel ist immer . |
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| 06.06.2017, 22:35 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, dann so: |exp(-x)f_k|<=exp(-k) für alle x, denn f_k(x)<= für alle x und f_k=0 für x<k. Und da exp(-k)->0, folgt d(fk,0)->0. Ist das dann so richtig? |
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| 06.06.2017, 22:42 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. |
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| 06.06.2017, 22:47 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dankeschön du hast mir sehr geholfen, trotz meiner kleinen Dummheit, vielen Dank! |
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