Konvergenz einer BB

07.06.2017, 12:44	57BB	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer BB Hallo zusammen, ich möchte folgende Behauptung zeigen: $\begin{eqnarray} \lim_{t \to \infty } \sup _{x\in \mathbb R ^d} \mathbb P^x (\| B_t -x\| > \delta)=0 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} (B_t )_{t\ge 0} \end{eqnarray}$ eine d-dimensionale Brownsche Bewegung ist und $\begin{eqnarray} \delta >0 \end{eqnarray}$ beliebig. Ich hatte es mit der Tschebycheff Ungleichung abgeschätzt und dann die Eignenschaften der BB ausnutzen. Aber leider hat dies nicht zur Behauptung geführt. Kann mir jemand helfen?
07.06.2017, 13:09	SHigh	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer BB Hm, stimmt das denn überhaupt? Betrachten wir $\begin{eqnarray} d=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} Y\sim \mathcal N(0,1) \end{eqnarray}$ . Dann gilt doch $\begin{eqnarray} P(\|B_t\|> \delta)= 2\cdot P(B_t > \delta) = 2\cdot (1-P(B_t \leq \delta)) = 2\cdot \left[1-P\left(Y\leq \frac \delta {\sqrt t}\right)\right] \overset{t\to \infty}\longrightarrow 2\cdot [1-P(Y \leq 0)]=1 \end{eqnarray}$ . Oder übersehe ich hier was .
07.06.2017, 14:03	57BB	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, habe mich versehen. Das müsste $\begin{eqnarray} \lim_{t \to 0} ... \end{eqnarray}$ sein. Sorry
07.06.2017, 18:18	SHigh	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ok. Was bedeutet denn $\begin{eqnarray} \mathbb P^x \end{eqnarray}$ ? Soll das bedeuten, dass die BB in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ startet? Denn sonst sehe ich wieder ein Problem: Die BB startet ja f.s. in Null, wenn ich diesen Startpunkt jetzt um $\begin{eqnarray} x=2\delta \end{eqnarray}$ verschiebe (was du ja machst), so müsste deine gesuchte WS (wenn ich mal dieses "hoch x" weglasse) doch wieder Eins sein ? Wie gesagt, ich war noch nie so der Experte für stochastische Prozesse, vielleicht kann irgendjemand ja uns beide erleuchten .
08.06.2017, 14:48	57BB	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das $\begin{eqnarray} \mathbb P^x \end{eqnarray}$ ist das Wahrscheinlichkeitsamaß unter dem $\begin{eqnarray} (B_t)_t \end{eqnarray}$ eine in x gestartete Brownsche Bewegung ist.
08.06.2017, 15:11	57BB	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Fall $\begin{eqnarray} B_t -x > \delta \end{eqnarray}$ gilt also: $\begin{eqnarray} P(B_t -x > \delta)=P(B_t > \delta +x) \end{eqnarray}$ Setze $\begin{eqnarray} X \sim \mathcal N \left( \frac{1}{\sqrt{t} },1 \right) \end{eqnarray}$ so gilt die Gleichheit $\begin{eqnarray} B_t \approx \sqrt{t} X \end{eqnarray}$ in Verteilung: $\begin{eqnarray} P(B_t -x > \delta)=P(B_t > \delta +x)= P\left(X>\frac{\delta +x}{\sqrt{t}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} } \int_{\frac{\delta +x}{\sqrt{t}}}^{\infty } \! \exp\left( -\frac{1}{2} \left(r-\frac{1}{\sqrt{t} }x \right)^2 \right) \, dr . \end{eqnarray}$ Kann ich das so machen? Könnte ich jetzt das Integral irgenwie abschätzen?
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08.06.2017, 15:35	SHigh	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, das sollte doch viel einfacher gehen: Es bezeichne $\begin{eqnarray} B^{(x)}_t \end{eqnarray}$ eine in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gestartete Bewegung. Dann gilt doch: $\begin{eqnarray} \sup_x\mathbb P^x(\|B_t-x\|>\delta) =\sup_x \mathbb P(\|B^{(x)}_t-x\|>\delta) = \mathbb P(\|B_t\|>\delta)\xrightarrow[t\to 0]{} 0 . \end{eqnarray}$

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