Konvergenz in Verteilung

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redshark Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz in Verteilung
Meine Frage:
Seien Zufallsgrößen derart, dass

mit stetig.

Man zeige:


Meine Ideen:
An dieser Aufgabe grübele ich schon mehrere Tage. Das ist ja anscheinend eine abgeschwächte Version des Satzes von Slutsky, der mir aber nicht zur Verfügung steht und für dessen Beweis mir auch ein paar Voraussetzungen fehlen. Daher versuche ich das elementarer, befürchte aber, dass ich mich mit meinen vielen Abschätzungen verschätzt habe...

Sei beliebig, aber fest und die Mengenfolge wie folgt definiert:


Dann lässt sich disjunkt zerlegen in die beiden Mengenfolgen



Dann gilt für die Menge


die Inklusion:

da nach Konstruktion ja für gilt, dass und also auch . Damit kann man abschätzen:



wobei zusätzlich die Additivität des Maßes bei disjunkten Mengen genutzt wurde. In der Grenzwertbetrachtung ergibt sich dann:



Da beliebig war folgt mit der Stetigkeit von F:
\

Macht das Sinn? Wenn ja würde ich mich noch an einer Abschätzung nach unten versuchen...

Viele Grüße
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Behauptung ist ganz sicher falsch. Kann es sein, dass du irgendeine Voraussetzung vergessen hast? Etwa, dass eine positive Zufallsgröße ist? Oder dass statt sogar vorausgesetzt wird?
redshark Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, stimmt, in der Aufgabenstellung ist die Voraussetzung:



das war ein Tippfehler

In meiner Lösung habe ich auch mit dieser Voraussetzung gearbeitet.
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