Abbildungen von V->V, wobei V=Abb(R,R)

08.06.2017, 10:27

Safari24203

Abbildungen von V->V, wobei V=Abb(R,R)

Meine Frage:
Hey,
Also es kommt immer wieder der VR V der Abb(R,R) vor. Ich verstehe, dass das alle Abbildungen der reellen Zahlen in den VR der reellen Zahlen darstellt aber nicht wie ich mir eine Abbildung der Abb(R,R) nach Abb(R,R) vorzustellen habe. wir haben konkret die abbildung Q(f): x -> f(x²) in besagtem VR. Dazu sollen Dim von Kern und Bild bestimmt werden aber ich kann mir unter der Abbildung rein garnichts vorstellen. Außerdem ist sie linear was dem f(x²) doch widerspricht oder?

Danke schonmal für die Antworten smile

Meine Ideen:
...

08.06.2017, 10:46

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abbildungen von V->V, wobei V=Abb(R,R)

Zitat:

Original von Safari24203
Außerdem ist sie linear was dem f(x²) doch widerspricht oder?

Es geht ja um die Frage, ob die Abbildung Q linear ist. Was muß denn dafür gelten?

08.06.2017, 10:49

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} V=Abb(\mathbb R, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist ein reeller Vektorraum, wobei die Vektoren reelle Funktionen sind, die punktweise addiert und mit reellen Zahlen punktweise skalar multipliziert werden. Das klappt für jeden Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und jede Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , denn so wird $\begin{eqnarray*} Abb(M,K)=K^M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum.

Ich glaube nicht, dass der Variablen $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ eine Funktion zugeordnet wird, sonst wäre $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ nicht auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ definiert. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} Q: V\to V, f\to Q(f) \end{eqnarray*}$ wird vermutlich definiert durch $\begin{eqnarray*} Q: Abb(\mathbb R,\mathbb R)\to Abb(\mathbb R,\mathbb R), f\mapsto (Q(f))(x)=f(x^2) \end{eqnarray*}$ .

08.06.2017, 13:42

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Safaris Definition von $\begin{eqnarray*} Q(f) \end{eqnarray*}$ ist richtig. So ist $\begin{eqnarray*} Q: Abb(\mathbb R,\mathbb R) \to Abb(\mathbb R, \mathbb R), f \mapsto Q(f) \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} Q(f) \in Abb(\mathbb R, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} Q(f): \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , und zwar punktweise definiert durch $\begin{eqnarray*} Q(f)(x) := f(x^2) \end{eqnarray*}$ .

08.06.2017, 20:10

Safari25203

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit die Abb linear ist muss gelten Q(f+g)(x)=(Q(f)+Q(g))(x) und Q(af)(x)=aQ(f)(x), wobei f,g Element V und a Element K.
Meine Idee ist, dass die Dimension vom Kern von Q=1 ist, da die Nullabbildungen Element V so aussehen: Q(f)(x)=0=f(x²)=0. Das gilt nur für die null da x²=0 nur wenn auch x=0.
die Dimension vom Bild von Q ist unendlich also Dim V. Man setze x:=Wurzel(x). Dann erhält man Q(f)(x)=Q(f)(wurzelx)=f(wurzel(x²))=f(x) und das wären alle funktionen in V also dim bild Q= dim bildV.

Was sagt ihr dazu?

08.06.2017, 22:00

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Linearität hast du behauptet aber nicht bewiesen. Kern und Bild sind falsch. Vermutlich hast du die Definition von Q doch noch nicht verstanden. Heute habe ich keine Lust mehr, morgen wenn nötig mehr dazu.

09.06.2017, 09:42

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Kurvendiskussionen in der Schule haben wir einen ganz einfachen Trick angewandt, bevor wir Nullstellen und Ableitungen und das Verhalten im Unendlichen berechnet haben: wir haben eine Wertetafel für x=-3,-2,-1,0,1,2,3 aufgestellt. Mach das mal für Qf zum Beispiel für f(x)=const, f(x)=ax+b, f(x)=exp(x), f(x)=log(x), f(x)=1/x, f(x)=sin(x) für x<0 und f(x)=0 für x>=0. Insbesondere das letzte Beispiel sollte dir klar machen, wie der Kern von Q aussieht.

Neue Frage »

Antworten »

Abbildungen von V->V, wobei V=Abb(R,R)

Verwandte Themen