Differenzierbarkeit und Ableitung

08.06.2017, 10:52

dubbox

Differenzierbarkeit und Ableitung

Meine Frage:
Es gibt zwar unendlich viele Posts hierzu aber wir haben jetzt mit dem Thema angefangen und die erste Abgabe dazu, ich hab so meine Startschwierigkeiten Big Laugh

Wir sollen die folgenden reellen Funktionen auf Differenzierbarkeit prüfen und ggf. die Ableitung bestimmen. Dabei sollen wir immer den größtmöglichen Definitionsbereich betrachten.

a) $\begin{eqnarray*} f_1(x)=\sqrt x +x^2 -2x + 9 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f_2(x)=\frac {2x^2-8}{4x} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} f_3(x)=(x^2+7x-3)^{100} \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} f_4(x)=sin(ln(cos(x)+1)) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Erstmal scheinen das keine wirklich schwierigen Aufgaben zu sein, ich hab einfach das ganze prozedere noch nicht so auf dem Schirm. Haben halt nur Definitionen bekommen und noch auf diese art und weise nichts an aufgaben gerechnet.

Erstmal zu unserer Definition für Differenzierbarkeit

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac {f(x_0+h)-f(x_0)} {h} \end{eqnarray*}$

beides für die Differenzierbarkeit in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und dieses ist hier ja beliebig.

a) Ich mache hier zu 100% etwas ganz schlimm falsch Big Laugh

Mit der ersten Formel
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac {\sqrt x +x^2 -2x + 9 - (\sqrt x_0 +x_0^2 -2x_0 + 9)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac {\sqrt x +x^2 -2x + 9 -\sqrt x_0 -x_0^2 +2x_0 - 9)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac {\sqrt x +x^2 -2x -\sqrt x_0 -x_0^2 +2x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$
Wenn ich mich nicht irre geht jetzt der Zähler sowie der Nenner gegen 0, ich bin jedoch zu blöd hier einen richtigen Grenzwert zu bestimmen... Also mit der zweiten Formel.

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac {f(x_0+h)-f(x_0)} {h} = \lim_{h \to 0}\frac {\sqrt {x_0+h} +(x_0+h)^2 -2(x_0+h) + 9} {h} \end{eqnarray*}$
Aber auch hier stehe ich auf dem Schlauch. Ich hab die herangehensweise einfach nicht wirklich verstanden...

Bevor ich also bei den anderen Aufgaben eh alles Falsch mache, wollte ich mal mit der ersten Anfangen und um Hilfe bitten Big Laugh

08.06.2017, 11:02

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differenzierbarkeit und Ableitung
Sicherlich kann man die Differenzierbarkeit mit diesen Formeln:

Zitat:

Original von dubbox
Erstmal zu unserer Definition für Differenzierbarkeit

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac {f(x_0+h)-f(x_0)} {h} \end{eqnarray*}$

beides für die Differenzierbarkeit in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und dieses ist hier ja beliebig.

prüfen. Aber das kann ganz schön lästig werden. Das merkst du ja schon bei der Aufgabe a. Spätestens bei den Funktionen aus den Aufgaben c und d gibt es einen Hirncrash. Zum Glück gibt es aber diverse Ableitungsregeln, die einem da helfen können. Daher wäre für mich im Moment die Frage, ob ihr schon Ableitungsregeln besprochen habt und diese dann auch anwenden dürft.

08.06.2017, 11:38

dubbox

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin etwas verwirrt gewesen da es echt hart so ist....

Aber wir haben Ableitungsregeln, und anscheinend muss ich die Gleichungen einfach nur Ableiten, aber nur weil ich Ableitungsregeln anwende zeige ich doch keine Differenzierbarkeit oder?

08.06.2017, 11:46

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dubbox
aber nur weil ich Ableitungsregeln anwende zeige ich doch keine Differenzierbarkeit oder?

Doch, das ist Teil der Ableitungsregel. Für Aufgabe a kommt zum Beispiel die Summenregel in Frage.

08.06.2017, 12:47

dubbox

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ja habe die Aufgaben mit Ableitungsregeln schon komplett gelöst, dachte nur ich muss die Differenzierbarkeit explizit zeigen. Aber wenn das so passt war das ja geschenkt...

Danke für die Erklärung smile

Neue Frage »

Antworten »

Differenzierbarkeit und Ableitung

Verwandte Themen