Quadraturformeln

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Analyysis Auf diesen Beitrag antworten »
Quadraturformeln
Hallo Leute,

bin neu hier und hab ein paar Fragen bzw Aufgaben, die mich vor Rätsel stellen.

"Berechne näherungsweise mit der Quadraturformel .

a) Berechne die Gewichte und zu den Knoten und, sodass die Quadraturformel maximalen Einheitsgrad hat.

b)Um welche Quadraturformel handelt es sich?

Komme leider nicht mit dem Skript voran und würde mich über jede Hilfe freuen. smile

LG
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Den Begriff "maximalen Einheitsgrad" kenne ich nicht, aber ich vermute mal dass damit die "Ordnung" der Quadraturformel gemeint ist. In dem Fall bestimme die Gewichte so, dass möglichst viele der Polynome

exakt integriert werden.
Analyysis Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank schonmal für deine Antwort! smile Ok, aber wie bestimme ich denn die Gewichte..? verwirrt wie gesagt: komme leider gar nicht voran..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie system-agent sagte: Ziel ist es, dass für möglichst viele Polynome die Gleichheit gilt, beginnend mit dem niedrigsten Polynomgrad. Das ist Grad 0, also , einsetzen liefert



.

Gleichsetzen liefert schon mal die erste Bedingung . Nächstes Polynom ist und damit dann



.

Damit sind dann bereits als Lösung eines 2x2-Gleichungssystems bestimmt. Anschließend kannst du noch überprüfen, ob mit diesen so gefundenen Gewichten auch noch höhergradige Polynome die Eigenschaft besitzen, d.h., bei welchem das dann aufhört zu gelten.
Analyysis Auf diesen Beitrag antworten »

Hey HAL,

vielen Dank für deine Antwort. Ich kam gestern auch soweit. Habe , gleichgesetzt mit und mit Einsetzen der Knoten erhalte ich
.

Nun löse ich das 2x2-GS und erhalte und . Oder? Big Laugh

Bei k=2 passen diese Gewichte aber nicht mehr, sodass der Exaktheitsgrad 1 ist?
Ich habe irgendwo gelesen (unter Newton-Cotes), dass der Exaktheitsgrad die Anzahl der Knoten minus 1 ist, was dann hier der Fall wäre. Lässt sich dadurch schon sagen, dass es sich um eben diese Quadraturformel handelt (Aufgabe b))?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Analyysis
Nun löse ich das 2x2-GS und erhalte und . Oder? Big Laugh

Bei k=2 passen diese Gewichte aber nicht mehr, sodass der Exaktheitsgrad 1 ist?

Richtig.

Zitat:
Original von Analyysis
Ich habe irgendwo gelesen (unter Newton-Cotes), dass der Exaktheitsgrad die Anzahl der Knoten minus 1 ist

Das stimmt i.a. so nicht ganz: Er ist mindestens so groß. Bei geschickterer Wahl der Stützstellen (als im vorliegenden Fall 1.5 und 2) ist auch mehr drin!

Z.B. erreicht man bei der Gauß-Quadratur durch eine geschickte Wahl der Stützstellen eine exakte Integration bis hin zu Polynomen vom Grad . Augenzwinkern


Zudem: Durch das haben wir hier die Formel , also de facto nur einen Knoten, und schaffen damit Polynomgrad . smile
 
 
Analyysis Auf diesen Beitrag antworten »

Hey HAL, vielen Dank für deine Antwort!
Zitat:
Original von HAL 9000
Das stimmt i.a. so nicht ganz: Er ist mindestens so groß. Bei geschickterer Wahl der Stützstellen (als im vorliegenden Fall 1.5 und 2) ist auch mehr drin!

Z.B. erreicht man bei der Gauß-Quadratur durch eine geschickte Wahl der Stützstellen eine exakte Integration bis hin zu Polynomen vom Grad . Augenzwinkern


Zudem: Durch das haben wir hier die Formel , also de facto nur einen Knoten, und schaffen damit Polynomgrad . smile


Woran erkenne ich denn um welche Quadratur es sich handelt? Gibt es da einen 'Trick'? Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe jetzt nicht, was du mit "welche" meinst: Du betrachtest hier ja grundsätzlich Quadraturformeln vom Typ zur näherungsweisen Berechnung von mit irgendwelchen Stützstellen aus dem Intervall sowie passend gewählten Gewichten .

Wenn es dir bei vorliegender solchermaßen strukturierter Quadraturformel darum geht zu entscheiden, ob das nun Newton-Cotes oder Gauss oder (...) ist, dann schau dir die Stützstellen sowie Gewichte an und vergleiche das mit dem was die jeweiligen Modelle sagen.
Analyysis Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe soweit.

Habe nun eine neue Aufgabe, bei der Knoten und Gewichte der Gauß-Quadraturformel zur näherungsweisen Berechnung von
zu bestimmen sind. Außerdem sollte dann der Exaktheitsgrad bestimmt werden.

Führe ich alles nun genau wie vorher durch? also gleichsetzen etc. Oder muss ich etwas wegen des Betrages beachten?

LG
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