GGT komplexer Zahlen

09.06.2017, 17:26	Mathematicax33	Auf diesen Beitrag antworten »
GGT komplexer Zahlen Meine Frage: Wir haben den kommutativen Ring $\begin{eqnarray} R=\left\{ x+iy\sqrt{3} \| x,y \in \mathbb Z\right\} \end{eqnarray}$ Ich soll zeigen, dass 4 und $\begin{eqnarray} 2(1+i\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ keinen größten gemeinsamen Teiler in R haben. Also dass $\begin{eqnarray} GGT(4,2(1+i\sqrt{3})= \emptyset \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiß nicht genau wie ich vorgehen soll. Ich dachte zuerst ich stelle die Gleichung auf : $\begin{eqnarray} 4a+2(1+i\sqrt{3})b= c(x+iy\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ und zeige dass das keine Lösung hat,aber wie ? Oder geht's einfacher ? Hoffe jemand kann mir helfen. Grüße
09.06.2017, 20:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: GGT komplexen Zahl Ich bin bald eine Weile weg. Aber als Start: Offensichtlich gibt es Lösungen. Und es gibt viele. Teiler $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ sind definiert durch $\begin{eqnarray} g \| 4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \| 2(1+ i\sqrt 3) \end{eqnarray}$ . Der $\begin{eqnarray} ggT \end{eqnarray}$ ist ein Teiler, so dass fuer jeden Weiteren Teiler $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} g \| ggT \end{eqnarray}$ . Also was zu tun ist: Fuer jeden Teiler $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ musst du einen weiteren Teiler $\begin{eqnarray} g' \end{eqnarray}$ finden, so dass $\begin{eqnarray} g \| g' \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} g' \not\| g \end{eqnarray}$ . Damit findest du für jeden Teiler einen größeren Teiler -- es gibt also keinen größten Teiler.
09.06.2017, 23:24	Mathematicax33	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: GGT komplexen Zahl d.h g teilt 4 und $\begin{eqnarray} 2(1+i\sqrt{3} ) \end{eqnarray}$ d.h wir können daraus schließen : 1) $\begin{eqnarray} g\|4 \Rightarrow \exists c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 4=gc \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} g\|2(1+i\sqrt{3} )\Rightarrow \exists b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 2(1+i\sqrt{3} )=gb \end{eqnarray}$ Wie finde ich aber das mit dem was du da beschrieben hast ? Ich hab mir überlegt vorerst vlt. 4 durch $\begin{eqnarray} 2(1+i\sqrt{3} ) \end{eqnarray}$ zuteilen. Dann bekomme ich einen Ausdruck mit einem Rest..Vielleicht mit dem Rest was anfangen ?
13.06.2017, 13:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: GGT komplexen Zahl Zeige, dass $\begin{eqnarray} z \in R \end{eqnarray}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray} z = 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \|z\| \geq 1 \end{eqnarray}$ . Ferner $\begin{eqnarray} 4 = \|2(1+i\sqrt 3)\| \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \|wz\| = \|w\|\|z\| \end{eqnarray}$ folgt, dass jede Darstellung $\begin{eqnarray} 4 = g\cdot c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2(1+i\sqrt 3) = g'\cdot c' \end{eqnarray}$ folgt, dass es nur endlich viele Teiler gib. Finde einfach alle und argumentiere damit. Edit: Rechne $\begin{eqnarray} (x + yi\sqrt 3) (x' + iy'\sqrt 3) = ... \end{eqnarray}$ und fuere einen Koeffizienten vergleich durch.

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