Funktionensystem bildet Orthogonalsystem

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionensystem bildet Orthogonalsystem
hallo,

ich weiß hier nicht weiter:
Zitat:

sei der Vektorraum der stetig reelwertigen Funktionen auf [-1,1].
Zu zeigen ist: Das System der Funktionen bildet ein Orthogonalsystem für n aus N und x aus [-1,1]. Mit:


Das Skalarprodukt ist hier definiert als

Ich habe versucht, für die n-te Ableitung eine explizite Formel zu finden, aber leider ist der Term bei n=3 schon recht kompliziert, zumindest sehe ich kein Schema.
Und wegen der inneren Ableitung kann ich ja nicht einfach bilden.
Aber geht es denn überhaupt anders als mit einer expliziten Darstellung?
Ich werde dann ja hinterher in das Skalarprodukt einsetzen und sollte da null rausbekommen.
Deshalb habe ich gehofft auf eine explizite Darstellung zu kommen.
Hat jemand vielleicht einen Tipp?
Habe es auch schon probiert, das ganze über binomischen Lehrsatz auszumultiplizieren, aber auch das hat mich leider nicht weitergebracht.
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RE: Funktionensystem bildet Orthogonalsystem
Hast du es mit partieller Integration versucht?
forbin Auf diesen Beitrag antworten »



Wähle ich nun und bilde , dann bilde ich ja die (n+1)-te Ableitung eines Polynoms mit Grad n. Dies ergibt null.
Ok.

Also setze ich und bilde .
Die n-te Ableitung ergibt , also ist .

Also:
.

Habe ich das so richtig gemacht?
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Ich weiß nicht, was du da machst. Du musst doch berechnen.
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