Nullteilerfreiheit von k[X,Y,Z]/(XY-1)

10.06.2017, 19:56	fnord42	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullteilerfreiheit von k[X,Y,Z]/(XY-1) Sei $\begin{eqnarray} k[X,Y,Z] \end{eqnarray}$ der Polynomring in 3 Variablen über einem Körper $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ . Es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} k[X,Y,Z]/(XY-1) \end{eqnarray}$ nullteilerfrei ist. Für den verwandten Fall $\begin{eqnarray} k[X,Y,Z]/(X) \end{eqnarray}$ würde ich einen Isomorphismus zu $\begin{eqnarray} k[Y,Z] \end{eqnarray}$ konstruieren und dann argumentieren, dass $\begin{eqnarray} k[Y,Z] \end{eqnarray}$ nullteilerfrei ist, da Körper nullteilerfrei sind und Nullteilerfreiheit beim bilden von Polynomringen erhalten bleibt. Für $\begin{eqnarray} k[X,Y,Z]/(XY-1) \end{eqnarray}$ fällt mir aber leider kein isomorpher "offensichtlich" nullteilerfreier Ring ein, da es mir schwer fällt die Äquivalenzklassen vorzustellen. Ich überlege nun ob das hier überhaupt zielführend ist oder es nicht vielleicht besser ist direkt über die Definition von Nullteilerfreiheit zu argumentieren oder über Primideale, sehe dafür aber auch keinen vielversprechenden Weg. Wie würdet ihr den Beweis angehen? Ich wäre sehr dankbar für ein paar Gedankenanstöße!
10.06.2017, 22:48	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, da ja XY-1=0 in dem Ring gelten soll, m.a.W. $\begin{eqnarray} Y=X^{-1} \end{eqnarray}$ ist der Ring isomorph zu $\begin{eqnarray} K[X,X^{1},Z] \end{eqnarray}$ . Oder du zeigst, dass das Polynom als Polynom über $\begin{eqnarray} k[Y,Z] \end{eqnarray}$ irreduzibel ist.
10.06.2017, 23:31	fnord42	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tatmas, vielen Dank für deine Hilfe! Die erste Variante verstehe ich vollständig und damit bekomme ich die Aussage auch bewiesen. Wünsche einen schönen Abend!

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