Flächeninhalt einer Ellipse, die durch 4 Tangenten definiert ist

12.06.2017, 21:05

toreg

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Flächeninhalt einer Ellipse, die durch 4 Tangenten definiert ist

Meine Frage:
Gegeben:
2 Punkte X1,Y1 und X2,Y2
je 2 Geraden (Steigung der Geraden) durch dies Punkte.

Diese 4 Geraden sind Tangenten einer Ellipse (schließen eine Ellipse ein)

Gesucht ist der Flächeninhalt dieseer Ellipse.

Meine Ideen:
Es geht hier nicht um eine Schulaufgabe, sonder um ein technisches Problem aus dem Maker-Bereich (3D-Drucker). Da wir selbst leider zu keiner Lösung gekommen sind, wollten wir die Frage mal hier an die Mathe-Spezialisten stellen.
Durch optische Sensoren und bekannte Abstände zu den Punkten (X1,Y1) und (X2,Y2) werden die 4 Geraden bestimmt. Daraus soll nun die Fläche der Ellipse berechnet werden. Per CAD alles kein Problem, aber rechnerisch bekommen wir das nicht mehr gebacken......

12.06.2017, 22:16

HAL 9000

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Ich bezweifle, dass die Ellipse durch nur vier Geraden bereits eindeutig bestimmt ist:

Ein Kreis in der Ebene hat drei Freiheitsgrade, und ist durch drei Tangenten bestimmt (auch nicht eindeutig, siehe Ankreise usw., aber zumindest in endlicher Lösungsanzahl).

Eine Ellipse in der Ebene hat fünf (!) Freiheitsgrade ...

Natürlich könntest du von vornherein auf einen Freiheitsgrad bewusst verzichten - etwa, indem du eine sogar "achsenparallele" (also hinsichtlich der Halbachsen gemeint) Ellipse suchst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.06.2017, 08:57

riwe

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ich kann mich HAL 9000 nur anschließen:
ein Kegelschnitt ist (im Allgemeinen) durch 5 Elemente (Punkte oder Geraden) bestimmt

13.06.2017, 09:37

HAL 9000

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Es gibt natürlich auch andere Möglichkeiten, mit dem einen "überzähligen" Freiheitsgrad umzugehen, z.B.:

Unter allen möglichen passenden Ellipsen sucht man die mit dem größten Flächeninhalt.

Macht die Sache natürlich nicht unbedingt einfacher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.06.2017, 11:20

toreg

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o.k. hab ich verstanden, sind bei der Anordnung zu viele Lösungsmöglichkeiten.

Evtl. auch durch mehr Messungen einschränken?
Wäre die Ellipse "Ell" dann eindeutig bestimmt und die Fläche damit berechenbar?

bekannt (durch Messung):
P1, P2 fest
P11, P12, P21, P21 (y=0, x gemessen)
P31, P32, P41, P42 (x=0, y gemessen)

LG

13.06.2017, 11:24

toreg

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o.k. hab ich verstanden, sind bei der Anordnung zu viele Lößungsmöglichkeiten.

Evtl. auch durch mehr Messungen einschränken?
Wäre die Ellipse "Ell" dann eindeutig bestimmt und die Fläche damit berechenbar?

bekannt (durch Messung):
P1, P2 fest
P11, P12, P13, P14 (x=0, y gemessen)
P21, P22, P23, P24 (y=0, x gemessen)

LG

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13.06.2017, 12:44

HAL 9000

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Mit mehr als 5 Bedingungen (bei dir sind es nun bereits 8) begeben wir uns nun natürlich eher in das Gebiet der Ausgleichsrechnung:

Wir haben n=8 Datenpunkte für 5 zu bestimmende Parameter. Die Ellipse, oder wie von Werner erwähnt allgemein der Kegelschnitt kann durch die Gleichung

$\begin{align*} F(x,y) := ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f = 0 \end{align*}$

beschrieben werden. Jetzt kennst du außerdem $\begin{align*} n \end{align*}$ Tangentengleichungen $\begin{align*} y = t_k(x):= m_kx+n_k \end{align*}$ für $\begin{align*} k=1,\ldots,n \end{align*}$ . Bei exakten Tangenten muss wegen der Berührbedingung $\begin{align*} F(x,t_k(x)) \end{align*}$ ein vollständiges Quadrat in $\begin{align*} x \end{align*}$ sein:

$\begin{align*} F(x,t_k(x)) = F(x,m_kx+n_k) = ax^2 + bx(m_kx+n_k) + c(m_kx+n_k)^2 + dx + e(m_kx+n_k) + f = (a+bm_k+cm_k^2)x^2 + (bn_k+2cm_kn_k+d+em_k)x + cn_k^2+en_k+f \end{align*}$

Im Fall $\begin{align*} n>5 \end{align*}$ wird das natürlich nicht ganz hinhauen mit den vollständigen Quadraten in allen diesen Gleichungen, deshalb könnte man als zu minimierende Funktion im Sinne MKQ die Quadratsumme der Diskriminanten nehmen, also

$\begin{align*} MKQ(a,b,c,d,e,f) := \sum_{k=1}^n \left( (bn_k+2cm_kn_k+d+em_k)^2 - 4(a+bm_k+cm_k^2)(cn_k^2+en_k+f) \right)^2 \end{align*}$ ,

und die dann minimieren. Hmm, ziemlich nichtlinear, vielleicht hat jemand eine bessere, durchdachtere Idee.

P.S.: Ich sehe grad noch, man sollte die einzelnen Summanden anders wichten - Tangenten mit betragsmäßig sehr großem Anstieg werden zu groß gewichtet ... aber ich ändere es jetzt nicht mehr, ist eh nur eine Diskussionsbasis, keine ultimative Lösung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.06.2017, 14:09

toreg

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Ich hab jetzt mal versucht, das ganze per CAD zu simulieren und dann zu rechnen.
Allerdings komme ich rechnersch auf keinen grünen Zweig :-(

P1(-5,50)
P11(4.24,0)
P12(5.99,0)

P2(15,50)
P21(1.68,0)
P22(3.58,0)

P3(50,15)
P31(0,3.56)
P32(0,5.78)

P4(50,-5)
P41(0,5.34)
P42(0,7.49)

Ergebnis (laut CAD): Ellipse a=1, b=0.7656, A=2.4052

30.06.2017, 10:04

toreg

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Ellipse, deffiniert durch 8 Tangenten, Rechenweg für a und b (bzw. Fläche)
keiner eine Idee, wir kommen selber da nicht weiter.

Gesucht wird ein Rechenweg, der per Software (Microcontroller) lösbar ist für die Ellipse (eigentlich nur a und b zu Flächenberechnung) die durch 8 Tangenten begrenzt wird.
(Nur die Lösung im 1. Quadranten)

Beispieltangenten:

$\begin{eqnarray*} y_1 = -0.0713 x_1 + 22.9437 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2 = -4.5469 x_2 + 27.2520 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_3 = 3.7537 x_3 - 6.3063 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_4 = 4.3783 x_4 - 15.6743 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_5 = 0.2288 x_5 + 3.56 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_6 = 0.1844 x_6 + 5.78 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_7 = -7.2832 x_7 + 5.34 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_8 = -0.2498 x_8 + 7.49 \end{eqnarray*}$

Ellipse:
$\begin{eqnarray*} F(x,y) := ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f = 0 \end{eqnarray*}$

30.06.2017, 10:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von toreg
keiner eine Idee, wir kommen selber da nicht weiter.

Oben steht ja eine Idee, insofern ist dieses "keiner" eine ziemliche Frechheit. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.06.2017, 11:45

toreg

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"So" war das auch nicht gemeint.
Damit komme ich 30 Jahre nach dem letzten Matheunterricht leider nicht weiter...........

02.07.2017, 16:02

riwe

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na dann wünsche ich viel Spaß
(vielleicht solltest du uns einmal erklären, wozu, weshalb usw., bzw. warum unbedingt eine Ellipse, und warum 8 (acht) Tangenten verwirrt

verwirrt

bzw.

smile

)

Ellipse 002: geraden g2 - g6
Ellipse 001: g4 - g8

02.07.2017, 18:16

toreg

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Hallo, erst mal Danke für die Bemühungen. Ich bin noch am überlegen, warum dabei zwei so unterschiedliche Ergebnisse zustande kommen, muß da wohl noch mal die Beispielmesswerte für die Tangenten prüfen.
Viel Interessanter wäre aber noch ein Rechenweg gewesen, der sich evtl auch programmieren läßt.

Dann mal zu Erklärung:

Es geht darum, den Filamentquerschnitt per Messung zu bestimmen, da dieser schwankt und abhängig vom Querschnitt die zu druckende Materialmenge bestimmt wird.
Es gibt zwar schon "einfachere" Lösungen dazu, diese sind allerdings alle nicht serhr genau und von zu vielen Faktoren beeinflusst. Die gehen alle davon aus, das das Filament immer Kreisfömig und nicht verformt ist. Entweder wird dort durch mechanische Abtastung oder durch eine optische Lößung der Durchmesser bestimmt, d.h bei nicht ganz rundem Filament treten Abweichungen auf.

Außerdem wird dort bei der optischen Lösung (Schattenwurf auf einen LCD-Sensor) immer von einem genau deffinierten Abstand Filament/Sensor ausgegangen, was Mechanisch auch nicht so genau einzuhalten ist. Ist alles nicht so genau und aufwändig zu kallibrieren.

Wir wollen diesen Weg versuchen weil:
1. optisch , nicht mechanisch, die optsche Auflösung bei den vorhandene Sensoren ist wesentlich höher
2. durch die Annahme eines elipsoiden Querschnittes auch bei veformtem Filament der Querschnitt genauer zu bestimmen ist.
3. Durch die bestimmung über Tangenten der Abstand Filamen/Sensor keinen Einfluss haben sollte (einfacher zu kallibrieren)
4. aktuell 8 Tangenten, da 4 für die Bestimmung der Ellipse ja nicht ausreichen (siehe oben), könnte man natürlich auch reduzieren

Aufbau (das ganze 2x, um 90° versetzt):
*optischer Liniensensor, zwei Lichtquellen (P1,P2) in genau festgelegtem Abstand, dazwischen das Filamt. Die Lichtquellen qerden abwechselnt geschaltet und über der Schattenwurf auf den Sensor 4 weitere Punkte gemessen und daraus 4 Tangenten bestimmt.

Ist nur ein Hobbyprojekt, wir wollten das einfach mal probieren, ob es für das Problem nicht aoch noch eine andere, evtl bessere und genauere Lösung gibt, die mehr misst und rechnet und weniger "schätzt".

LG
Ralf

02.07.2017, 18:37

HAL 9000

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Auch mehr als 5 Tangenten macht Sinn, ich erinnere an

Zitat:

Original von HAL 9000
Mit mehr als 5 Bedingungen (bei dir sind es nun bereits 8) begeben wir uns nun natürlich eher in das Gebiet der Ausgleichsrechnung:

Klar, dass die einzelnen gemessenen Tangenten nicht mehr genau gelten, sondern nur noch "gerundet". Aber wie bei jedem solchen Problem ist es so: Je mehr Messungen, desto genauer wird die tatsächliche Ellipse geschätzt - vorausgesetzt, es schleichen sich keine groben Fehlmessungen ein.

02.07.2017, 19:32

riwe

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wenn ich richtig vermute, hast du dich bei 1,4 (ein bißerl) und 7 vertan

02.07.2017, 21:19

toreg

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@riwe
sorry, ich hab mich anscheinend bei den Testpunkten verhaut (sind inzwischen einfach zuviele Schmierzettel hier :-) , deshalb wahrscheinlich die extreme Abweichung bei den beiden Ellipsen.

Sollten eigentlich die sein, jetzt mehrfach überprüft:
$\begin{eqnarray*} y_1 = -5.4113 * x_1 + 22.9437 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2 = -4.5496 * x_2 + 27.2520 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_3 = 3.7538 * x_3 - 6.3063 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_4 = 4.3783 * x_4 - 15.6743 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_5 = 0.2288 * x_5 + 3.56 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_6 = 0.1844 * x_6 + 5.78 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_7 = -0.2068 * x_7 + 5.34 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_8 = -0.2498 * x_8 + 7.49 \end{eqnarray*}$

[attach]44802[/attach]

02.07.2017, 21:40

riwe

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Freude

und ein zufriedenstellendes Bilderl Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.07.2017, 23:04

toreg

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verrätst du auch noch näheres? :-)
Herangehensweise, Rechenweg, evtl. Auswahl der 5 zu verwendenten Tangenten (Da dachte ich evtl. die zu verwenden, deren Steigung am stärksten von der Horizontalen / Vertikalen abweicht, da bei diesen bei kleinen Änderungen an der Ellipse die größten Änderungen an den Sensoren (X-Achse/YAchse) auftreten)

LG

03.07.2017, 14:42

Huggy

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Wenn man 5 Tangenten verwendet, ergibt sich ein möglicher Lösungsweg aus der ersten Antwort von HAL. Man hat dann 5 Diskriminanten, die alle Null ergeben sollen. Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt die Parameter a - f, wobei einer oder ihre Quadratsumme durch eine weitgehend willkürliche Normierung festgelegt wird. Unter Verwendung der Tangenten 1 -5 bin ich zu einer Ellipse gekommen, die sich nur geringfügig von der von riwe unterscheidet.

[attach]44809[/attach]

Rot eingezeichnet sind die Tangenten 6 - 8, die ich nicht benutzt habe. Es sieht so aus, dass andere 5 Tangenten kein wesentlich anderes Ergbnis bringen werden. Wenn man keine Information vernachlässigen will, kann man natürlich alle möglichen Auswahlen treffen und dann z. B. pragmatisch einen Mittelwert der so erhaltenen Flächen bilden.

Das Hauptaufwand bei dir dürfte die Implementierung eines numerischen Verfahrens zur Lösung des Gleichungssystems sein.

09.07.2017, 11:20

toreg

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Hat jemand evtl. Tips für eine numerisches Verfahren dazu?

09.07.2017, 12:54

Huggy

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Das mehrdimensionale Newton-Verfahren kommt stark in Betracht:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Ver...hrdimensionalen

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