Chebyshev- und Markov-Ungleichung abschätzen

13.06.2017, 01:03	TheLastOfUs	Auf diesen Beitrag antworten »
Chebyshev- und Markov-Ungleichung abschätzen Meine Frage: Sei X für ein $\begin{eqnarray} n>2 \end{eqnarray}$ eine auf $\begin{eqnarray} \{1,...,n\} \end{eqnarray}$ gleichverteilte Zufallsvariable. Verwenden Sie die Ergebnisse $\begin{eqnarray} E (X) = \frac{n+1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Var(X)=\frac{n^2-1}{12} \end{eqnarray}$ , um die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P\{X \geq 3n/4\} \end{eqnarray}$ sowohl mit Hilfe der Markov-Ungleichung als auch mit Hilfe der Chebyshev-Ungleichung nach oben abzuschätzen. Sind die Abschätzungen jeweils sinnvoll? Meine Ideen: Kann mir hier bitte jemand unter die Arme greifen? Ich habe leider gar keine Erfahrung mit Abschätzen oder diesen Ungleichungen. Ich bin jedoch sehr lernwillig! Wäre wirklich, wirklich dankbar!
13.06.2017, 08:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Die für positive Zufallsgrößen $\begin{align} X \end{align}$ geltende Markow-Ungleichung $\begin{align} P(X\geq a) \leq \frac{E(X)}{a} \end{align}$ kannst du hier doch direkt für $\begin{align} a=\frac{3n}{4} \end{align}$ anwenden - einfach einsetzen! 2) Es ist $\begin{align} P\left(X\geq \frac{3n}{4}\right) = P\left(X-\frac{n+1}{2} \geq \frac{n-2}{4}\right) \leq P\left( \left\| X-\frac{n+1}{2}\right\| \geq \frac{n-2}{4}\right) \end{align}$ und dann rechts weiter mit Tschebyscheff fortfahren. P.S.: Nutzt man die für die hier speziell vorliegende Zufallsgröße geltende Symmetrie bzgl. des Erwartungswerts aus, kann man natürlich "feiner" abschätzen, und zwar über $\begin{align} P\left(X-\frac{n+1}{2} \geq \frac{n-2}{4}\right) = \frac{1}{2} P\left( \left\| X-\frac{n+1}{2}\right\| \geq \frac{n-2}{4}\right) \end{align}$ , und dann erst Tschebyscheff.

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