Dgl2	Neue Frage »

13.06.2017, 17:06

Akku33

Dgl2

Hallo kann mir jemand erklären wie ich bei der a) die Isoklinen berechnen muss ?

Wie genau die Vorgehensweise ist ?
Ich bin auch bereit Ansätze mit eurer Hilfe zu posten Big Laugh

13.06.2017, 20:09

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat niemand eine Idee ?

13.06.2017, 20:30

005

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dgl2
Meine Idee -- wenn ich nicht wuesste, was isoklinen sind -- waere, es einfach nachzuschlagen. Es steht z.B. auch hier:

de.wikipedia.org/wiki/Isokline

13.06.2017, 21:17

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber das Problem ist das ich es auf dieser Aufgabe nicht anwenden kann

13.06.2017, 22:17

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre ein Zeichen guten Willens, wenn du wenigstens mal deine Bemühungen zeigst. Diese totale Verweigerungshaltung, die du schon im anderen Thread gezeigt hast, kommt gar nicht gut an.

14.06.2017, 09:59

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir sagen wie in etwa mein erster Schritt aussehen soll?
Dann kann ich einen Ansatz gerne posten

14.06.2017, 10:19

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Löse zuerst die homogene Gleichung (also die Gleichung ohne den x-Term)

$\begin{eqnarray*} y'-\tfrac{1}{2}y=0 \end{eqnarray*}$

Die Lösung dieser homogenen Gleichung, die bis auf eine Konstante C unbestimmt ist, bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray*} C\cdot y_h(x) \end{eqnarray*}$ . Nun verwendet man die Methode "Variation der Konstanten". Mit anderen Worten: Man fasst die Konstante C als x-abhängige Funktion C(x) auf und setzt den Lösungsansatz $\begin{eqnarray*} y=C(x)\cdot y_h(x) \end{eqnarray*}$ in die ursprüngliche Dgl. $\begin{eqnarray*} y'-\tfrac{1}{2}y=-\tfrac{1}{2}x \end{eqnarray*}$ ein. Das führt auf eine weitere Dgl. für die Funktion C(x), die man lösen muss. Wenn man C(x) kennt, ist gemäß Ansatz die Funktion $\begin{eqnarray*} y(x)=C(x)\cdot y_h(x) \end{eqnarray*}$ die gesuchte Lösung.

14.06.2017, 10:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

@Ehos: es geht ja (zunächst) nicht darum, die Dgl zu lösen, sondern in Aufgabe a die Isoklinen zu bestimmen. Einen Hinweis, was da zu tun ist, hat ja schon 005 gepostet.

15.06.2017, 10:37

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich probiere es ein wenig:

$\begin{eqnarray*} C = \frac{y-x}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2*C}{-x} \end{eqnarray*}$

Ist das die Isokline ?

15.06.2017, 11:31

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist zwar konstant, aber im Sinne eines Parameters durchaus variabel.
Daher ist es nicht nur DIE Isokline, sondern eine Gesamtheit der Isoklinen.

Du bekommst diese daher, wenn du für $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ verschiedene Werte einsetzt.

EDIT:
Und deine Gleichung ist leider falsch (das hab' ich erst später gesehen).
WIE hast du die Gleichung $\begin{eqnarray*} C = \frac{y-x} 2 \end{eqnarray*}$ umgestellt?

$\begin{eqnarray*} 2C = y - x \end{eqnarray*}$

Berechne daraus (richtig!) $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$

Hast du übrigens mitbekommen, wie Isoklinen (in der Bedeutung des Wortes) definiert sind und welche Eigenschaften sie (hinsichtlich ihrer Schnittpunkte mit den Lösungskurven) haben?

mY+

15.06.2017, 11:39

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ich weiß leider nicht wie ich es in der b) zeichnen soll ?

Was muss ich beachten ?

15.06.2017, 11:45

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe mein nachträgliches EDIT im vorigen Beitrag. Deine Gleichung ist nicht richtig!
Zeichnen kannst du die Isoklinen einfach, indem du für verschiedene Werte von C die Graphen erstellst.
Welche Kurven sind dies (wenn du die Gleichung richtig umgestellt hast)?

Schaue dir doch den Wiki-Link dahingehend nochmals genauer an!

mY+

15.06.2017, 11:57

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

y= 2x+C

ABer wie zeichnet man das jetzt?
Das müsste doch irgenwie eine Gerade sein?

15.06.2017, 12:08

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung stimmt noch immer nicht!
In der HS sollte dies kein Thema mehr sein!

15.06.2017, 12:15

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry

y= 2C +x

Was muss man jetzt beachten?

15.06.2017, 12:37

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x + 2C \end{eqnarray*}$ . Mal einfach für $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ mit den Werten $\begin{eqnarray*} -1, 0, 1, 2 \end{eqnarray*}$ die Geraden auf, die dadurch entstehen.

Edit: Habe selbst ein wenig gemalt. Die $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ sind etwas weit auseinander gewaehlt, aber ich denke dann siehst du das Prinzip wie die Geraden alle aussehen Big Laugh

15.06.2017, 13:55

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du eine skizze posten? Big Laugh

15.06.2017, 14:00

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Egal poste ich dann .

Passt das Bild?

15.06.2017, 14:10

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist für $\begin{eqnarray*} C = 1 \end{eqnarray*}$ richtig. Male in das gleiche Koordinatensystem Geraden mit anderem $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

15.06.2017, 14:23

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Aha es werden also immer weiter verschobene Geraden geben ? Big Laugh

15.06.2017, 14:30

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Edit: Habe selbst ein wenig gemalt. Die $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ sind etwas weit auseinander gewaehlt, aber ich denke dann siehst du das Prinzip wie die Geraden alle aussehen Big Laugh

Siehst du, ich hatte Recht Augenzwinkern

Damit hast du die Isoklinen eingezeichnet. Jetzt zum groben Bestimmen von Lösungen: Starte z.B. bei (0,2) des Koordinatensystems. Dort hat eine Lösung die Steigung 2, weil es eine Isoklinen mit y-Wert 2 schneidet.
Male also von dem Punkt aus eine Gerade mit Steigung 2, bis du eine weitere Isoklinen schneidest. Schaue nach auf welcher Höhe du sie schneidest, und starte von da aus mit einer Geraden mit genau dieser Steigung.

Je feiner du die Isoklinen gemalt hast, desto näher wird es zur Lösung sein.

15.06.2017, 14:50

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mal mein Bild eingefügt .

Wo solle ich genau hin vom Punkt (0/2) ?

Das verstehe ich nicht.

15.06.2017, 14:52

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Damit hast du die Isoklinen eingezeichnet. Jetzt zum groben Bestimmen von Lösungen: Starte z.B. bei (0,2) des Koordinatensystems. Dort hat eine Lösung die Steigung 2, weil es eine Isoklinen mit y-Wert 2 schneidet.

Es solllte Steigung 1 sein, weil zu der Isokline durch (0,2) der Wert $\begin{eqnarray*} C=1 \end{eqnarray*}$ gehört.

Davon abgesehen würde ich einen anderen Startpunkt wählen; die Lösung, die durch (0,2) verläuft, ist ziemlich langweilig. Big Laugh

15.06.2017, 14:52

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Bis du die nächste Isokline triffst. Das sollte bei (1,4) passieren. Und von dem Punkt aus malst du eine Gerade bei Steigung 4 bis du die nächste Isokline triffst usw.

Edit: Wenigstens würde das passieren wenn du noch für C = 1.5 eine einmalst. Ansonsten schau nach wann du deine triffst

Edit: Danke Nick. ~~Ich hatte im Geiste immer $\begin{eqnarray*} c:= 2C \end{eqnarray*}$ gesetzt.~~

Edit 2: Ich hatte noch mehr nicht verstanden. Zum Glueck ist mYthos wieder da Big Laugh

15.06.2017, 14:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Davon abgesehen würde ich einen anderen Startpunkt wählen; die Lösung, die durch (0,2) verläuft, ist ziemlich langweilig. Big Laugh

Allerdings wird nach genau dieser langweiligen Lösung in (c) explizit gefragt. Augenzwinkern

15.06.2017, 15:03

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte ihr mal in meine letzte skizze kritzeln und erklären wo ich genau hoch oder wie auch immer gehen soll?

Ich verstehe es nicht Big Laugh

15.06.2017, 15:20

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hab' mal etwas (zum allgemeinen Verständnis, nicht gerade direkt zu deiner Skizze) "gekritzelt", vielleicht wird es dann verständlicher ..

[attach]44672[/attach]

Zur Erklärung der Tangente in T:
Die Isokline ist dort für C = -1 gezeichnet, sie hat die Gleichung y = x - 2
Der Punkt T auf ihr kann beliebig gewählt werden, jedenfalls hat die Tangente dort die Steigung -1

Die rot gefärbte Isokline y = x + 2 hat eine besondere Bedeutung (welche?)

mY+

15.06.2017, 15:37

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

In Richtungsfeld- statt Isoklinen-Darstellung sieht das ganze dann so aus:

[attach]44673[/attach]

Der Zusammenhang zwischen beiden besteht darin, dass entlang einer Isoklinen die Richtungsfeldvektoren jeweils die gleiche Richtung aufweisen.

15.06.2017, 16:16

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

.. und auch nochmals im Detail für weitere bestimmte Punkte auf einer Lösungskurve:

[attach]44674[/attach]

Wie man in der Richtungsfelddarstellung bei HAL sieht, gibt es unendlich viele (unterschiedliche) Lösungen, mit einigem Geschick* sind dann bestimmte zu zeichnen.
Diese Lösungen sind rein graphisch, ausser der bereits erwähnten besonderen Lösung sind sie im Allgemeinen nicht explizit durch einen Funktionsterm zu bestimmen.

Zur "besonderen" Isokline, $\begin{eqnarray*} y = x + 2 \end{eqnarray*}$ :
Diese ist die einzige, bei der in allen ihren Punkten die Steigung der Richtungsfeldvektoren gleich der Steigung der Isokline selbst ist.
Also ist $\begin{eqnarray*} y:= x+2 \end{eqnarray*}$ eine spezielle Lösung der gegebenen Differentialgleichung.

(*) Punkte des Richtungsfeldes (d.s. solche benachbarter Isoklinen) sind möglichst "glatt" miteinander zu verbinden.

mY+

15.06.2017, 17:58

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie muss ich jetzt genau bei der c) vorgehen ?

15.06.2017, 18:43

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du alle Antworten genau durchgelesen hättest, würdest du wahrscheinlich nicht nochmals fragen .. Augenzwinkern

Blick' nochmals zurück, aber bitte nicht im Zorn Big Laugh

, da war doch die Rede von dieser besonderen Isokline ....

mY+

15.06.2017, 19:08

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber das Problem ist ,ich verstehe immer noch nicht wie ich von 0/2 wo hingehen soll?

Ich habe das net verstanden traurig

15.06.2017, 22:58

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Von den unendlich vielen Lösungen greifen wir einfach jene heraus, die durch den Punkt (0;2) geht.
Es ist die Gerade f(x) = x + 2, die auch in der Richtungsfelddarstellung (in der Mitte) zu sehen ist.
Das ist alles, mehr ist da nicht zu verstehen Augenzwinkern

Dann ist noch damit die Probe zu machen [ f(x) und ihre Ableitung in die DGl einsetzen ] ...

mY+

16.06.2017, 08:56

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

f(x) = x+2

f´(x) = 1

Wo einsetzen?

y´ = (y-x)/2

16.06.2017, 09:14

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Akku33
Wo einsetzen?

y´ = (y-x)/2

Na ja doch, wo denn sonst. Wie schon in dem Thread erlebt scheinst du ja ein gewaltiges Problem mit dem einfachen Konzept des Einsetzens zwecks Probe zu haben. Oder bist du so zögerlich und fragst immer erst mehrmals nach, bevor du einen kleinen Schritt wagst?

16.06.2017, 10:15

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein die frage ist soll ich die Ableitung für x einsetzen ?

Oder für y´?

16.06.2017, 10:26

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst für y die Funktion f(x) und für y' die Ableitung f'(x) einsetzen.

17.06.2017, 01:07

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

f(x) = x+2

f´(x) = 1

y´ = (y-x)/2

1 = (y-x+x+2)/2

1 = (y+2)/2

Wie geht es weiter ?

17.06.2017, 01:47

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Akku33
...
y´ = (y-x)/2

1 = (y-x+x+2)/2
...

Was hast du denn da wieder fabriziert? Das rot markierte gehört doch dort gar nicht hin.
Der Ausdruck y - x ist wie f(x) - x zu berechnen, wobei f(x) = x + 2
Wenn du bei der Schreibweise y (anstatt f(x)) bleiben willst, geht das natürlich auch, dann ist eben y = x + 2 und x bleibt x, was ist dann y - x ?

Kannst du das jetzt?

mY+

17.06.2017, 02:26

Akku33

Auf diesen Beitrag antworten »

Aha

$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{-x+x+2}{2} \end{eqnarray*}$

1 = 1

Richtig ?

12 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

Dgl2

Verwandte Themen