Basis und Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung |
| 14.06.2017, 10:24 | Mathlete1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Basis und Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung Für f Element Abbil(R,R) sei Tf:={x Element R|f(x)=0}. Zu einem g Element Abbil(R,R) sei Ug={f Element Abbil(R,R)|Tf vereinigt Tg=R}. Nun sei g: x -> x(x-1)(x+1) 1) Bestimmen Sie eine Basis von Ug. 2) Zeigen Sie, dass die Abbildung h: Ug->Uf definiert durch h(f):x->xf(x) linear und wohldefiniert. (Hinweis: hierfür ist h(f) Element Ug für alle f Element Ug zu zeigen) 3) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von h bzgl. Der in 1) gewählten Basis. (Mit R als reelle Zahlen) Meine Ideen: Ansätze: bei der 1) weiß ich nicht wirklich weiter, hilft es mir zu wissen, dass die Nullstellen von g gleich 0,1 und -1 sind? 2) linearität: i) f,g Element h , (h(f+g))(x)=x(f+g)(x)=x(f(x)+g(x))=xf(x)+xg(x)= (hf)(x)+(hg)(x) ii) c Element R (h(cf))(x)= h(cf)(x)=xcf(x)=cxf(x)=c h(f(x))=c(hf)(x) Wohldefiniertheit: für f Element Ug gilt Tf vereinigt Tg=R -> für h(f) Element Ug folgt Th(f) vereinigt Tg=R. Dann ist Th(f)={x Element R|xf(x)=0} <=> Tf={x Element R|f(x)=0}, also ist h(f) Element Ug. bei 3) weiß ich leider nicht weiter weil ich 1) noch nicht gelöst habe.. Ich bin über jede Hilfe dankbar und es wäre toll, wenn jemand über meine Ansätze schauen könnte 
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| 14.06.2017, 11:18 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
zu 1) Ug enthält für g(x)=x(x-1)(x+1) alle Abbildungen, die bei -1,0,1 beliebige Werte annehmen können und sonst den Wert 0 haben. Tipp: Die Dimension von Ug ist gleich 3. zu 2) h muss von Ug nach Ug abbilden, nicht nach Uf. Dein Beweis für die Wohldefiniertheit ist unklar. |
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| 14.06.2017, 19:51 | Mathlete1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke schonmal
zu 1) also ist eine Basis von Ug -1,0,1, da auch Tf mit f(x)=0 beliebige Werte annimmt? bei der 2) muss ich also den Unterraum mitverwenden, also: 2) linearität: i) f,g Element h , (h(f+g))(x)=x(f+g)(x)=x(Tf vereinigt Tg)=xTf vereinigt xTg=xf(x)+xg(x)= (hf)(x)+(hg)(x) ii) c Element R (h(cf))(x)= h(cf)(x)=xcf(x)==xc(Tf vereinigt Tg)=cx(Tf vereinigt Tg)=cxf(x)=c h(f(x))=c(hf)(x) ? Das kommt mir nicht richtig vor? ich weiß nicht wie ich das genau anwenden kann 
Wohldefiniertheit: für f Element Ug gilt Tf vereinigt Tg=R -> für h(f) Element Ug folgt Th(f) vereinigt Tg=R. Dann ist Th(f)={x Element R|h(f(x))=0}={x Element R|xf(x)=0} <=>(durch x teilen folgt äquvalent: ) Tf={x Element R|f(x)=0}, also ist h(f) Element Ug. Ist das so etwas deutlicher oder muss ich anders ansetzen? |
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| 14.06.2017, 20:01 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eine Basis von Ug ist f_1 mit f_1(-1)=1, sonst 0, f_2 mit f_2(0)=1, sonst 0, f_3 mit f_3(1)=1, sonst 0, denn jede Funktion f aus Ug kann auf -1,0,1 die Werte a,b,c annehmen, hat also die Basisdarstellung f=af_1+bf_2+cf_3 |
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| 14.06.2017, 20:25 | Mathlete1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sehr gut, Danke! dazu habe ich jetzt versucht die Abbildungsmatrix zu bestimmen, also (hf_1)(x)=h(f_1(x))=-1f(-1)=-1x1=-1 (hf_2)(x)=h(f_2(x))=0f(0)=0x1=0 (hf_3)(x)=h(f_3(x))=1f(1)=1x1=1 Also wäre ein Vektor (-1.0,1)T. Aber das ist ja noch nicht die ganze Matrix, muss ich noch mit 2 Spalten voll Nullen auffüllen oder wie bestimme ich den nächsten Teil? und wie sieht mein Versuch aus die Linearität zu beweisen? vermutlich eher schlecht.. 
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| 14.06.2017, 22:24 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Linear hast du längst bewiesen, Problem war die Wohldefiniertheit von h. h bildet eine Funktion auf eine Funktion ab, nicht auf eine Zahl. Die Bilder musst du dann in der Basis darstellen und als Spalten in die Matrix schreiben (ganz einfach). Vermutlich musst du zuerst verstanden haben, wie Ug definiert ist. |
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| 14.06.2017, 22:35 | Mathlete1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay gut, aber ist die wohldefiniertheit denn im zweiten Versuch bewiesen? Und ja mein Problem ist vor allem zu verstehen was UG ist, deshalb habe ich glaube ich auch so ein Problem mit der Aufgabe 
Aber den Vektor den ich jetzt raus bekommen habe, ist doch richtig oder? Also wäre die matrix in der ersten Zeile 1× f_1 , 0×f_2, 0×f_3 Zweite dann 0×f_1, 1×f_2, 0×f_3 und die Dritte: 0×f_1, 0×f_2, 1×f_3 Richtig so? |
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| 15.06.2017, 06:56 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Falsch. Die SPALTEN sind die Koeffizienten von -1f_1+0f_2+0f_3, 0f_1+0f_2+0f_3, 0f_1+0f_2+1f_3 Für eine feste Funktion g ist Ug der Vektorraum aller reellen Funktionen, die mindestens dort gleich 0 sind, wo g nicht 0 ist. Für die Wohldefiniertheit muss man nur zeigen, dass für f in Ug auch h(f)=xf diese Eigenschaft hat. Das ist aber doch ziemlich trivial, oder nicht? Beweis: |
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| 15.06.2017, 11:32 | Mathlete1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay vielen dank für deine Hilfe 
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