Gruppe aus zwei Funktionen

14.06.2017, 19:45

forbin

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Gruppe aus zwei Funktionen

Hallo Leute,

ich habe folgende Aufgabe:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} D:=\mathbb R \setminus\left\{0,1\right\}. f(x):=\frac{1}{x}, g(x):=\frac{x-1}{x} \end{eqnarray*}$
Nun ist zu zeigen: Die durch f und g erzeugte Gruppe ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} S_{3} \end{eqnarray*}$ . Als Verknüpfung wähke man die Hintereinaderausführung.

Meine Ideen:
Damit ich überhaupt erst eine Gruppe aus f und g bilden kann, suche ich:
$\begin{eqnarray*} e\circ f = f\circ e = f \end{eqnarray*}$ . Es stellt sich heraus: $\begin{eqnarray*} e(x) = x \end{eqnarray*}$ .

Außerdem die Inversen:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}\circ f = f\circ f^{-1} = e \end{eqnarray*}$

Meine Berechnungen ergeben:
$\begin{eqnarray*} f^{-1} = f \text{ und } g^{-1}=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Nun noch:
$\begin{eqnarray*} f\circ g^{-1} = 1-x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^{-1}\circ f = \frac{x}{x-1} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} G=(x, \frac{1}{x},\frac{x-1}{x},\frac{1}{1-x},\frac{x}{x-1},1-x) \end{eqnarray*}$

Nun ist G aber noch keine Gruppe, denn ich muss Assoziativität prüfen.
Und genau hier hänge ich.
$\begin{eqnarray*} (a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c), \forall a,b,c\in G \end{eqnarray*}$

Es würde mich eigentlich wundern, wenn ich das nur über eine sehr große Verknüpfungstafel lösen könnte.
Übersehe ich etwas offentsichtliches? verwirrt

verwirrt

14.06.2017, 20:02

IfindU

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Fuer jedes $\begin{eqnarray*} f,g,h : D \to D \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (f \circ g) \circ h = f \circ ( g \circ h) \end{eqnarray*}$ . Das sieht man einfach indem man die Definition $\begin{eqnarray*} (f\circ g)(x) := f(g(x)) \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten einsetzt.

14.06.2017, 20:49

forbin

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Es reicht also:
$\begin{eqnarray*} ((f\circ g)\circ h )(x) = (f\circ g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f\circ (g(h(x))) = (f\circ ( g\circ h))(x) \end{eqnarray*}$ ?

14.06.2017, 21:00

IfindU

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Genau

Freude

14.06.2017, 21:07

forbin

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Das ist ja toll, ganz vielen Dank.
Die Assoziativität ist also ausschließlich abhängig von der Operation, nicht von den Elementen?

Nun möchte ich ja noch einen Isomorphimus $\begin{eqnarray*} \phi: G\rightarrow S_{3} \end{eqnarray*}$ finden.
Ich suche also einen bijektiven Homomorphismus.
Bijektiv ist gegeben, da da beide Mengen gleicher Ordnung sind.

Aber wie bestimmt ich sinnvollerweise den Homomorphismus?
$\begin{eqnarray*} S_{3} \end{eqnarray*}$ habe ich gegeben als:
$\begin{eqnarray*} S_{3}=(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Nun fiele mir zuerst ein, zwei Verknüpfungstafeln zu bilden, und zwar $\begin{eqnarray*} G \times G\rightarrow G \text{ und } S_{3} \times S_{3}\rightarrow S_{3} \end{eqnarray*}$ und dann zu schauen, ob diese "kongruent" sind (das war sicher nicht das richtige Wort).

Aber den Weg finde ich selber sehr unsauber. Kann ich mehr "analytisch" daran gehen?

14.06.2017, 21:19

IfindU

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Assoziativitaet ist eine Eigenschaft von den Elementen und der Verknuepfung. Assoziativitaet bei der Komposition gilt bloss fuer alle Abbildungen $\begin{eqnarray*} D \to D \end{eqnarray*}$ . Bereits wenn man $\begin{eqnarray*} D \to E \end{eqnarray*}$ zulaesst, ist die Komposition nicht mehr zwingend wohldefiniert, geschweige denn assoziativ.

Isomorphismen erhalten die Ordnung. Ich wuerde also bei beiden Aufschreiben welche Elemente Ordnung 1,2, oder 3 haben. Diese muessen aufeinander abgebildet werden. Das schraenkt die Auswahl schon erheblich ein.

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14.06.2017, 22:36

forbin

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Ok, ich habe die Ordnungen der Elemente in beiden Gruppen bestimmt. Es passt auch von der Anzahl her: einmal ord=1, dreimal ord=2 und zweimal ord=3.
Reicht es nun, dass jeweils diese aufeinander abgebildet werden?

15.06.2017, 04:42

IfindU

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Entschuldige,habe dich zu viel arbeiten lassen. wichtig in der Gruppe der Funktionen ist nur welche Ordnung f,g haben. Wenn du die beiden auf Erzeuger von $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ mit der gleichen Ordnung schickst, laesst sich die Abbildung eindeutig zum Homomorphismus fortsetzen -- und damit automatisch auch Isomorphismus.

15.06.2017, 16:31

forbin

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Also, damit ich das richtig verstehe:
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bildet $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ab auf $\begin{eqnarray*} s_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , denn diese haben jeweils die Ordnung 1.
$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ wird abgebildet auf $\begin{eqnarray*} d=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , denn diese beiden haben Ordnung 3.

Außerdem erzeugen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die Gruppe G und $\begin{eqnarray*} s_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ erzeugen $\begin{eqnarray*} S_{3} \end{eqnarray*}$ .

Was folgt nun?

15.06.2017, 16:36

IfindU

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Erstens dass du die Ordnung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sehr stark überdenken solltest.

Zweitens lässt sich jedes Element im Funktionenraum durch geeignete Verkettung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ erzeugen. So ist z.B. $\begin{eqnarray*} \phi( f \circ g):= \phi(f) \phi(g) \end{eqnarray*}$ festgelegt. D.h. du setzt die Abbildung auf die einzige mögliche Weise zum Homomorphismus fort. Wenn die Abbildung wohldefiniert ist, so ist es automatisch ein Isomorphismus.

15.06.2017, 16:37

forbin

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Achja, f hat Ordnung 2.
Dann muss ich also ein anderes Element auf $\begin{eqnarray*} S_{3} \end{eqnarray*}$ nehmen, welches auch Ordnung 2 hat und die Gruppe aufspannt?

15.06.2017, 16:39

IfindU

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Richtig. s_1 kann auch nicht einer der beiden nötigen Erzeuger sein -- das neutrale Element ist nie nötig als Erzeuger.

15.06.2017, 17:20

forbin

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Dann nehme ich f und $\begin{eqnarray*} s_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , denn beide haben Ordnung 2.
Außerdem g und $\begin{eqnarray*} d = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , da beide jeweils Ordnung 3 haben.

Muss ich nun die Abbildung für jede Verkettung durchgehen?

15.06.2017, 17:59

IfindU

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Ich bin sicher es gibt ein schoenes Argument, ohne alles nachzupruefen, aber ich sehe es gerade nicht. Jemand, der hier aushelfen kann? Big Laugh

Big Laugh

15.06.2017, 18:16

Elvis

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Bis auf Isomorphie gibt es nur 2 Gruppen der Ordnung 6. Die eine ist zyklisch, das kann hier aber nicht sein, also ist diese Gruppe isomorph zur $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ .

15.06.2017, 18:19

forbin

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Ok, danke sehr.
Ich möchte es aber gerne verstehen: Wie würde ich nun rechnerisch den Isomorphismus zeigen? unglücklich

unglücklich

Das Thema macht mir leider immer wieder Probleme

15.06.2017, 18:30

Elvis

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Zwei Gruppen sind genau dann isomorph, wenn ihre Gruppentafeln übereinstimmen. Bei winzigen Gruppen kann man das machen. Wozu es gut sein soll, ist mir nicht klar, denn man lernt nichts daraus. Isomorph ist isomorph, isomorpher geht nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.06.2017, 18:55

forbin

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Ok, das ist eine sehr hilfreiche Aussage Freude

Freude

Und sind mit Gruppentafeln die Verknüpfungstafeln gemeint?

15.06.2017, 19:03

Elvis

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Ja, die Verknüpfungstafel einer Gruppe ist eine Gruppentafel.
Noch ein Hinweis: Man kann die Isomorphie auch dadurch beweisen, dass man erzeugende Elemente und ihre Relationen vergleicht.
Und noch ein Hinweis: Deine Aufgabe wird hier besprochen: https://de.wikipedia.org/wiki/S3_(Gruppe)

15.06.2017, 20:47

forbin

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Ihr habt mir sehr geholfen Freude

Freude

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