Lineares homogenes DGL mit Eigenwert und Eigenvektoren lösen

15.06.2017, 09:14	mim922	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares homogenes DGL mit Eigenwert und Eigenvektoren lösen Meine Frage: 20.1 DGL-System Ermitteln Sie die L¨osung des Differentialgleichungssystems x punkt = 4x ? 5y // punkt überm x y punkt = 10x + 6y // punkt überm y für die x(0) = 10 und x punkt(0) = 50 gilt. Meine Ideen: zuerst habe ich (A-lambdaE) bestimmt und anschließend die Determinante: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 4-\lambda & -5\ \\ 10 &6-\lambda \end{vmatrix} <br /> =(4-\lambda )(6-\lambda)+50 \end{eqnarray}$ Dann erhalte ich nach der pq-Formel für die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda 1,2=5\pm 7i \end{eqnarray}$ Im nächsten Schritt wende ich die Gleichung $\begin{eqnarray} (A-\lambdaE)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray}$ zur Bestimmung der Eigenvektoren an: Dann erhalte ich: $\begin{eqnarray} 10x+y(1-7i)=0<br /> -(1+7i)x-5y=0 \end{eqnarray*}$ Die Determinante der Matrix ist 0, das heißt, es müsste unendlich viele Lösungen geben. Allerdings steht in der offiziellen Lösung etwas anderes. Vielleicht kann mir jemand helfen...
15.06.2017, 09:32	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das liegt daran, dasd Du ein Anfangswertproblem vorliegen hast und nicht nur eine DGL allgemeiner Art.
15.06.2017, 09:40	mim992	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann verstehe ich aber noch nicht, wie man dann von lambda auf das x kommt.
15.06.2017, 16:08	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du suchst eine reellwertige Funktion, so dass Du nicht die komplexen Lösungen nehmen kannst, die Dir die Eigenwerte liefern. Du musst eine geeignete Linearkombination verwenden, die Dir die reellwertigkeit sichert und dazu nimmt man üblicherweise den Real- und Imaginärteil der komplexen Lösung.

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