Lineare Abhängigkeit von Potenzen (Endomorphismus)

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colleen Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit von Potenzen (Endomorphismus)
Meine Frage:
Hallo ihr Lieben! Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen könnte! Die Aufgabe ist:
Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und µ Element von EndK(V).

Zu zeigen: Es gibt ein a aus N derart, dass die Potenzen µ^0,µ^1,...,µ^s im K-Vektorraum EndK(V) linear unabhängig sind. (Hierbei sei µ^0=idV).



Meine Ideen:
Ich bin sehr verwirrt, wie ich hier anfangen soll. Ich weiß, dass µ^n eine n-fache Hintereinanderausführung von µ ist und dass im Endomorphismus Ziel- und Startmenge gleich sind, aber ich kann diese Informationen nicht wirklich zusammensetzen.

Wenn ich mir die Aufgabe so ansehe, würde ich ein ¢ (bitte als griechischen Buchstaben vorstellen, ich finde keinen anderen Auf meiner tastatur ) setzen und dann

¢1 µ^0 + ¢2 µ^1 + ¢3 µ^2+ .... + ¢s-1 µ^s = O

setzen, aber ich habe das Gefühl, so geht das nicht und kann mir nicht vorstellen wie meine Info "Endomorphismus" da reinpasst.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist linear unabhängig. Fertig. Oder möchtest du die lineare Abhängigkeit zeigen ? der Beweis dafür ist der Satz von Hamilton-Cayley: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cayley-Hamilton
colleen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi und vielen Dank für deine Antwort!

Da hab ich mich wohl in aller Eile vertippt, ja, ich meinte lineare Abhängigkeit. Hab mir jetzt mal deinen verlinkten Wiki-Artikel durchgelesen, aber leider kommt da ziemlich viel drin vor, was wir noch nicht hatten (zb. charakteristisches Polynom).

Ich bin mir ziemlich sicher, dass wir für den Beweis irgendetwas mit Null gleichsetzen müssen, aber gerade da bin ich mir halt echt unsicher, wie ich das anpacken soll. Wenn du mir einen kleinen Hinweis geben würdest, wäre das echt super!
haloibims Auf diesen Beitrag antworten »

Man braucht Caley-Hamilton und dergleichen nicht. Es ist und dies kann man natürlich als wählen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Da man früher oder später charakteristische Polynome und Minimalpolynome braucht, kann man sich aber auch gleich mit diesen beschäftigen. Lernen macht ja i.a. nicht dümmer.
colleen Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis: Da stimme ich dir vollkommen zu!

Die Aufgabe wurde uns aber als Übungsaufgabe gestellt, die wir abgeben müssen, und da dürfen wir nur das verwenden, das schon definiert wurde.

Ich hab einfach das Gefühl, dass ich gerade ein bisschen auf dem Schlauch stehe und fände es toll, einen Lösungsansatz zu bekommen. Oder ein Feedback, ob mein Lösungsansatz komplett für den Müll ist oder eventuell zumindest teilweise in die richtige Richtung geht.

Ich versteh's völlig, wenn Leuten meine Fragerei vielleicht zu dumm ist unglücklich Aber wenn ich wüsste, wie ich diese Aufgabe konkret angehen soll, würde ich wohl nicht fragen...
Und ich finde es immer besser, kleinschrittig anzufangen weil man dann wenigstens längerfristig etwas versteht/lernt, und nicht nur irgendeine Formel aus dem Internet abschreibt...
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

haloibims hat einen Hinweis gegeben, mit dem das Problem elegant gelöst ist. In einem Vektorraum der Dimension s kann es höchstens s linear unabhängige Vektoren geben. Also sind s+1 Endomorphismen linear abhängig.
colleen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich hab's jetzt verstanden! Vielen Dank nochmal für eure Hilfe smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

An deiner Stelle wäre ich weniger dankbar und noch lange nicht zufrieden.
Du musst erst einmal beweisen, dass gilt, dann sind für und die Potenzen linear abhängig.
Für einen Vektorraum V der Dimension 1000 gibt es theoretisch also ein Polynom vom Grad 1.000.001, das annulliert. Man hat aber noch lange kein solches Polynom. Der Satz von Cayley-Hamilton garantiert ein Polynom vom Grad 1000, das annulliert, und dieses charakteristische Polynom kann man "ganz leicht" ausrechnen. Über das Minimalpolynom kann man auch noch einiges aussagen , so dass das Problem überschaubar und praktisch algorithmisch lösbar wird.
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