Zusammenhang Diagonalisierbarkeit

16.06.2017, 06:18

MasterWizz

Zusammenhang Diagonalisierbarkeit

Hey Leute,

ich weiß, dass die Frage schon ziemlich oft kam, aber ich bin nach allen Foreneinträgen einfach nur noch verwirrt. Bitte ein letztes Mal nur die Bestätigung, ob ich es richtig verstanden habe und ob noch eine Implikation fehlt. Sei $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb{R}^{n\times n} \end{eqnarray*}$ .

Aussagen:
1) $\begin{eqnarray*} A=A^T \end{eqnarray*}$
2) Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
3) Es existieren $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ paarweise verschiedene Eigenwerte
4) $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar
5) Alle Eigenvektoren sind orthogonal

Implikationen:
1) $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \end{eqnarray*}$ 2)
1) $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \end{eqnarray*}$ 4)
3) $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \end{eqnarray*}$ 4)
1) $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ 3) $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \end{eqnarray*}$ 5)

16.06.2017, 12:24

10001000Nick1

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Die ersten beiden Implikationen sind richtig.

$\begin{eqnarray*} 3) \Rightarrow 4) \end{eqnarray*}$ gilt nur, falls die paarweise verschiedenen Eigenwerte alle reell sind (und dann gilt trivialerweise auch die Implikation $\begin{eqnarray*} 3) \Rightarrow 2) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

).

Ist bei 5) gemeint, dass Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind? Dann würde auch $\begin{eqnarray*} 1)\Rightarrow 5) \end{eqnarray*}$ gelten; man braucht dazu allerdings nicht, dass die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Eigenwerte alle paarweise verschieden sind.

Außerdem besitzt eine diagonalisierbare Matrix nur reelle Eigenwerte, d.h. $\begin{eqnarray*} 4)\Rightarrow 2) \end{eqnarray*}$ .

16.06.2017, 12:51

MasterWizz

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Hey Nick, vielen Dank für deine Antwort smile

Ich meinte mit 5) wirklich alle EV. Das kann ich dann wohl aber nur durch 3) sichern.

Meine Hoffnung war, dass ich bei einer Hauptachsentransformation (Symmetrische Matrix) nie Gram- Schmidt benutzen müsste Hammer

Gilt zufällig noch:
2) $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ 5) $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \end{eqnarray*}$ 1) ??

16.06.2017, 13:27

10001000Nick1

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Zitat:

Original von MasterWizz
Ich meinte mit 5) wirklich alle EV. Das kann ich dann wohl aber nur durch 3) sichern.

Was wäre denn, wenn du zwei Eigenvektoren zum selben Eigenwert nimmst? Diese wären dann linear abhängig, also nicht orthogonal.

16.06.2017, 13:43

MasterWizz

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Die Einheitsmatrix hat n mal den Eigenwert 1 und als Eigenvektoren die Einheitsvektoren, die sind alle orthogonal. Kannst du mir bitte ein Gegenbeispiel nennen? Ich komm selbst auf keins. smile

16.06.2017, 13:47

HAL 9000

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10001000Nick1 hat völlig recht, deine Formulierung mit "alle Eigenvektoren" ist unglücklich: Es gibt mehr als n Eigenvektoren, nämlich unendlich viele, und das bereits zu nur einem Eigenwert.

5) sollte wohl besser lauten

Zitat:

5') Eigenvektoren verschiedener Eigenwerte sind orthogonal.

Vielleicht ist aber auch die stärkere Aussage gemeint:

Zitat:

5'') Es existiert eine Orthogonalbasis bestehend aus Eigenvektoren.

Es gilt sowohl $\begin{align*} 1)\,\Rightarrow\, 5') \end{align*}$ als auch $\begin{align*} 1)\,\Rightarrow\, 5'') \end{align*}$ , d.h. Aussage 3) wird da nicht wirklich benötigt.

16.06.2017, 14:03

MasterWizz

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Zwei Eigenvektoren, die linear abhängig sind, zähle ich bei den Aussagen als einen Eigenvektor. Ich möchte nur wissen, ob aus einer symmetrischen Matrix direkt geschlussfolgert werden kann, dass ich ohne Gram-Schmidt direkt orthogonale Eigenvektoren ausrechne, auch wenn die Eigenwerte nicht verschieden sind oder muss dafür 3) erfüllt sein?

16.06.2017, 15:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von MasterWizz
dass ich ohne Gram-Schmidt direkt orthogonale Eigenvektoren ausrechne

"Ausrechne" ist wieder ein wenig verwaschen formuliert - wie ausrechnen? Möglicherweise meinst du folgendes:

Kann man zu einem Eigenwert der Ordnung $\begin{align*} k\geq 2 \end{align*}$ einfach beliebige $\begin{align*} k \end{align*}$ linear unabhängige Eigenvektoren nehmen, und die sind dann automatisch orthogonal?

Das stimmt natürlich nicht, die werden bei willkürlicher Auswahl i.a. nicht orthogonal sein - hier ist dann ein Orthogonalisierungsverfahren (z.B. eben Gram-Schmidt) nötig.

17.06.2017, 16:57

MasterWizz

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Genau das hab ich gemeint, vielen Dank. Was hast du gegen die Formulierung "ausrechnen"? Um den Eigenvektor zu einem Eigenwert zu bestimmen, muss ich ihn ja ausrechnen, erraten wird im Allgemeinen schlecht möglich sein ^^

17.06.2017, 17:08

Leopold

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Ohne daß ich diesen Thread im einzelnen verfolgt hätte, kann ich doch auch zu "ausrechnen" etwas sagen. Dieses Allerweltswort wird oft verwendet, wenn der Sprecher sich um den korrekten Fachausdruck oder eine präzise Formulierung drücken will. Das würde natürlich Arbeit machen und Energie kosten, also behilft er sich mit dem meist nichtssagenden "ausrechnen". Für mich ist ausrechnen so etwas wie "drei mal fünf plus vier ausgerechnet ergibt neunzehn". In anderen Kontexten meide ich dieses Wort.

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