Hauptachsentransformation Drehrichtung

Neue Frage »

MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsentransformation Drehrichtung
Hey Leute,

ich bin ein kleines bisschen verwirrt. Um bei der Haupachsentransformation eine Drehung durchzuführen, muss ich den anfänglichen Koordinaten Vektor mit der inversen Orthonormalmatrix - bestehend aus den Eigenvektoren, nur durch das T in Zeilen geschrieben - multiplizieren. In welche Richtung dreht sich denn das ursprüngliche Koordinatensystem, um auf zu kommen? Dreht sich hierbei das Koordinatensystem oder mein Kegelschnitt und in welche Richtung? Ich bin verwirrt Hammer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MasterWizz
Dreht sich hierbei das Koordinatensystem oder mein Kegelschnitt und in welche Richtung?

Ersteres. ist eine Koordinatentransformation, d.h., das Koordinatensystem wird gedreht, der Kegelschnitt bleibt an Ort und Stelle.

Was erwartest du für eine Art Antwort bei "in welche Richtung", insbesondere im drei- und höherdimensionalen? Das neue Koordinatensystem ist so ausgerichtet, dass deren Koordinatenachsen parallel zu den Hauptachsen des Kegelschnitts verlaufen!
 
 
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einem Kegelschnitt handelt es sich per Definition um den 2 dimensionalen Raum (weil wir nur 2 Variablen haben). Da gibt es eine Drehung im Uhrzeigersinn und in die entgegen gesetzte Richtung (mathematischer Uhrzeigersinn). Meinst du also, dass sich das Objekt nur scheinbar dreht, einfach weil wir das gesamte Koordinatensystem drehen?

Wenn ich also bei einer Hauptachsentransformation aus einer symmetrischen Matrix eine Basis aus orthonormalen Eigenvektoren ausrechne, die in einer Drehmatrix zusammengefasst werden, dreht dann die Multiplikation mit das Koordinatensystem im mathematischen Uhrzeigersinn oder entgegengesetzt und in die jeweils andere Richtung? Kann man eine allgemeine Aussage treffen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MasterWizz
dreht dann die Multiplikation mit das Koordinatensystem im mathematischen Uhrzeigersinn oder entgegengesetzt

Das kommt auf S an. Außerdem entspricht eine Drehung z.B. um 60° im Uhrzeigersinn auch immer einer Drehung um 300° gegen den Uhrzeigersinn, also ist diese Frage m.E. ziemlich bedeutungslos.

Zitat:
Original von MasterWizz
und in die jeweils andere Richtung?

Das stimmt.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Gut danke! Und jetzt meine eigentliche Frage:

Das Vielfache eines Eigenvektors ist immer noch ein Eigenvektor. Ist es möglich eine andere orthonormale Basis aus Eigenvektoren zu erzeugen, deren Drehmatrix (also diese Eigenvektoren spaltenweise nebeneinander geschrieben) in die genau andere Richtung dreht, als zuvor? (Damit meine ich bspw. 60° in die eine Richtung und die neue Drehmatrix um 60° in die andere Richtung dreht.)

Falls Ja: Kann man allgemein eine Aussage treffen, wie diese neue Drehmatrix entsteht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Drehmatrix bei einem solche Kegelschnitt ist natürlich nicht eindeutig: Du kannst z.B. statt auch einfach nehmen, das entspricht einer zusätzlichen Drehung um 180°:

Klar, wenn du eine Ellipse/Hyperbel/Parabel in achsenparalleler Lage um 180° drehst, hast du wieder eine Ellipse/Hyperbel/Parabel in achsenparalleler Lage!

Es ist also ziemlich müßig, hier lang und breit über die Drehmatrix zu diskutieren, wo es doch eigentlich nur um eine Drehmatrix geht.
MasterWizz Auf diesen Beitrag antworten »

Danke HAL, damit bin ich zufrieden. Mich treibt immer der Wunsch an soviele Informationen wie möglich aus dem Gegebenen zu ziehen. In diesem Fall: ob ich auch ohne einen Plot hätte wissen können, wie die Drehung aussieht. Da ich aber weißt, dass das Ergebnis in Hauptachsenlage sein wird, ist die Drehrichtung vollkommen egal smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »