Parabelproblem Oberfläche, Rotationskörper

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Johannis D. Auf diesen Beitrag antworten »
Parabelproblem Oberfläche, Rotationskörper
Hallo

Ich wollte erst mal die Oberfläche einer Parabelfunktion [ (2-x)^2 ]
von der y-Achse [ y = (2-x)^2, x=0 ] bis (2-x)^2 = 0, y=0 bestimmen

ich habe auch die Darstellung [ (2-x)^2 ] über den Funktionsplotter versucht aber da kommt nur ... heraus

und danach die Oberfläche und das Volumen des Rotationskörper (Rotation im die x-Achse)

und dieses dann in GeoGebra darstellen

nur kommt, wenn ich die Oberfläche der Parabelfunktion mit:

integral[(2-x)^2,{x,0,2}]

bestimme, nur x^3 heraus, wenn x eine Maßeinheit wäre, habe ich ein Volumen und nicht eine Oberfläche.

Frage:

Wie geht es richtig?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Darstellung am Funktionsplotter funktioniert allerdings einwandfrei:



Da du GeoGebra erwähnt hast, ist die Rechnung und Darstellung dort besonders schön und einfach.

Welcher Weg führt nun zu dem Ergebnis? In dem Link

https://de.wikipedia.org/wiki/Mantelfl%C3%A4che

ist das Formelmaterial zu finden, wir verwenden die Formel ganz unten - jene mit der Umkehrfunktion (Rotation um die y-Achse).



Darin ist für (Umkehrfkt. bei ) und für zu setzen.

(In der Formel ist der Wurzelausdruck als Bogenlänge in dem bestimmten Bereich verankert .. die Oberfläche als die Länge mal dem Weg deren [gewichteten] Schwerpunktes)

Edit: Die Aussage mit dem Linienschwerpunkt stimmt so nicht, dieser liegt i. A. nicht auf der Kurve, daher ist dies in diesem Zusammenhang und in den Attachments entfernt bzw. berichtigt worden.

Alles andere, vor allem das bestimmte Integral, welches etwas rechenintensiv zu berechnen ist, lassen wir von GeoGebra erledigen.

Die Umkehrfunktion ist und das Integral geben wir in GeoGebra als Integral[u(x) sqrt(1 + u'(x)^2)] bzw. als Integral[u(x) sqrt(1 + u'(x)^2), 0, 4]ein.

Natürlich kannst du das Integral auch "mit der Hand" erschlagen, wie gesagt, ist es m.E. ziemlich rechenintensiv ...

Somit kann auch der Schwerpunkt berechnet werden.
Ich gebe jetzt keine Ergebnisse bekannt, diese kannst du selbst herausfinden.

Hier das Bild und die GGB-Datei als ZIP-Archiv im Anhang.

[attach]44701[/attach]

mY+

[attach]44702[/attach]
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade, dass das Ding bei dir um die x-Achse rotieren soll und ich hatte bisher die Rotation um die y-Achse behandelt.

Der prinzipielle Weg bleibt jedoch derselbe, es werden sich nur die Funktion und die Grenzen ändern, sowie ist die Beziehung



zu verwenden.

Das Integral geben wir in GeoGebra als Integral[f(x) sqrt(1 + f'(x)^2)] bzw. als Integral[f(x) sqrt(1 + f'(x)^2), 0, 2]ein.

[attach]44703[/attach]

mY+

[attach]44704[/attach]
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