Stammfunktion bestimmen

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18.06.2017, 13:00	abcd123	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion bestimmen Hallo! Ich soll folgende Funktion integrieren, bin mir aber leider nicht sicher wie das richtig funktioniert. Die Funktion: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{x}{1+x^2} \, dx \end{eqnarray}$ Meine Idee: ich würde Substitution anwenden. Also $\begin{eqnarray} u=1+x^2 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} du=2xdx \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich aber leider nicht mehr weiter. Kann hier mir jemand unter die Arme greifen?
18.06.2017, 13:03	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Was kommt denn heraus, wenn du deine Substitution einsetzt?
18.06.2017, 13:03	Peter5774	Auf diesen Beitrag antworten »
Daraus folgt dann $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du \end{eqnarray}$
18.06.2017, 13:11	abcd123	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die Substitution noch nach dx umstelle, erhalte ich du/2x=dx. Wenn ich das dann einsetze bekomme ich: $\begin{eqnarray} \int\! \frac{x}{x^2+1} \, \frac{du}{2x} \end{eqnarray}$ Oder ist das falsch?
18.06.2017, 13:13	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal kannst du doch schön was kürzen und außerdem solltest du auch dein $\begin{align} u \end{align}$ für $\begin{align} 1+x^2 \end{align}$ einsetzen. Das war doch der Sinn des ganzen
18.06.2017, 13:19	abcd123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: $\begin{eqnarray} \int\!\frac{x}{u} \, \frac{du}{2x} \end{eqnarray}$ , das x und das 2x kürzen sich zu 1/2 und das kann ich rausziehen, also: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \int\!\frac{du}{u} \, \end{eqnarray}$ soweit richtig?
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18.06.2017, 13:25	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau.
18.06.2017, 13:33	abcd123	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie geht es genau weiter? Muss ich jetzt nur noch resubstituieren? Also zu: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \int \! \frac{2x}{x^2+1} \, \end{eqnarray}$
18.06.2017, 13:34	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Na das würde doch die ganzen Bemühungen wieder zunichte machen. Jetzt wird erstmal integiert. Eine Stammfunktion von $\begin{align} \frac{1}{u} \end{align}$ solltest du kennen. Falls nicht, musst du mal nachschauen. Das ist eine Grundfunktion, man kann hier nicht weiter vereinfachen.
18.06.2017, 13:39	abcd123	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Stammfunktion von 1/u ist ln(u). Aber wieso überhaupt 1/u, das kommt doch nirgends vor?!
18.06.2017, 13:42	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du doch selbst geschrieben $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \int\!\frac{du}{u} \, \end{eqnarray}$
18.06.2017, 13:45	abcd123	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bin ich verwirrt. Aber da steht doch du/u und nicht 1/u ?! Oder kommt das 1/u daher, dass ich du/u zu du*1/u umschreiben kann?
18.06.2017, 13:48	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast es erfasst. Im Sinne der Konventionen wäre es aber besser, es anders herum, also als $\begin{align} \frac 1u du \end{align}$ zu schreiben, damit das $\begin{align} du \end{align}$ nicht vor dem Integrand steht.
18.06.2017, 13:54	abcd123	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut! Wenn ich 1/u nun integriere, erhalte ich doch ln(u),oder nicht? Wenn ich jetzt noch resubstituiere, erhalte ich als Stammfunktion: $\begin{eqnarray} F(x)=\frac{1}{2}\cdot ln(x^2+1)+c \end{eqnarray}$ Stimmt das so? PS: Wenn man den Zähler etwas umschreibt, also zu 2x und dann 1/2 rauszieht, hätte man doch auch die logarithmische Integration anwenden können,oder? (sofern man dies spontan erkennt)
18.06.2017, 13:59	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht gut aus. Zu deiner Frage: Ja, das hätte man tun können.
18.06.2017, 14:01	abcd123	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld! Schönen Sonntag noch!
18.06.2017, 14:02	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ein Rechner mit Weg: http://www.integralrechner.de/ PS: In diesem Fall kann man mit etwas Nachdenken schnell zur Lösung kommen, wenn man an den ln und dessen Ableitung denkt.

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