Allgemeines Verständnis Sigma-algebra erzeugt von Zufallsvariable

18.06.2017, 15:28

Matheneuling1991

Allgemeines Verständnis Sigma-algebra erzeugt von Zufallsvariable

Hallo zusammen... smile

Nehmen wir an wir haben einen Wahrscheinlichkeitsraum, $\begin{eqnarray*} (\Omega, \Sigma, P) \end{eqnarray*}$ ;

Dabei besteht $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ aus der Grundmenge, $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ die Sigma-Algebra und $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ das Wahrscheinlichkeitsmaß, definiert auf der Sigma-Algebra;

Nehmen wir als Beispiel eine Münze, dann ist $\begin{eqnarray*} \Omega=\{\text{Kopf,Zahl}\} \end{eqnarray*}$ , und die Sigma- Algebra ist einfach die Potenzmenge davon, also $\begin{eqnarray*} \Sigma=\{\{\text{Kopf}\},\{\text{Zahl}\},\{\text{Kopf, Zahl}\}, \emptyset \} \end{eqnarray*}$ ; Wenn die Münze fair ist, können wir jedem das Wahrscheinlichkeitsmaß 0.5, 0.5, 1, 0 zuordnen (bzgl. der Elemente der sigma-algebra, der Reihe nach);

Nun ist eine Zufallsvariable definiert als eine messbare Funktion von eben dieser Sigma-Algebra auf eine andere Sigma-Algebra, nennen wir sie $\begin{eqnarray*} \Sigma_2 \end{eqnarray*}$ .
Definieren wir z.B. die Funktion f(x)=0, wenn x='Kopf' und f(x)=1, wenn x='Zahl', dann haben wir eine messbare Funktion auf die Sigma Algebra $\begin{eqnarray*} \Sigma_2=\{\{1,0\},\{1\},\{0\}, \emptyset\} \end{eqnarray*}$ ;

Habe ich das alles soweit richtig verstanden? Nun sei gegeben eine Zufallsvariable; $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ ;
Dann ist die Sigma Algebra erzeugt von der Zufallszahl gegeben durch $\begin{eqnarray*} \sigma(''\text{Zahl}'') \end{eqnarray*}$ ;
Damit meine ich die Sigma-Algebra, die von dem Ereignis "Zahl" erzeugt wird; Wegen der Definition einer Sigma-Algebra ist das aber bereits die ganze Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \Sigma=\{\{\text{Kopf}\},\{\text{Zahl}\},\{\text{Kopf, Zahl}\}, \emptyset \} \end{eqnarray*}$ selbst, d.h. eine Zufallszahl erzeugt bereits die komplette Sigma-Algebra;

Wenn wir aber als Beispiel einen Würfel genommen hätten und wir hier eine eins gewürfelt hätten, so hätten wir:

$\begin{eqnarray*} \sigma(1)=\{\{1\},\{2,3,4,5,6\},\{1,2,3,4,5,6\}, \emptyset \} \end{eqnarray*}$ und damit wäre es eine Sub-Algebra der Sigma-Algebra des Wahrscheinlichkeitsraums;

Habe ich das richtig verstanden, soweit?

Falls ja, nun meine Fragen:

1. Bei einer Münze ist es offensichtlich, dass es eine Sigma-Algebra gibt für die Ereignisse und dann eine Funktion als Zufallsvariable, die je nach Ereignis eine Zahl zuordnet;
Aber wie wäre es z.b. bei einer Zufallsvariable, die nach einer Verteilung erzeugt wird? Nehmen wir z.B. die Poissonverteilung, dann ist $\begin{eqnarray*} \Omega=\{1,2,3,4,.....\} \end{eqnarray*}$ ;
Wenn ich also eine Poissonverteilte Zufallsvariable erzeuge, kann ich das als Funktion f(x)=x sehen?

2. Kann mir jemand ein Beispiel für den stetigen Fall geben für all das was ich jetzt mit der Münze geschrieben habe? Ich weiß, da ist es nicht ganz so einfach und es geht um Borelmengen etc. aber ich verstehe es nicht ganz aber würde es wirklich gerne verstehen...
Also wie der Wahrscheinlichkeitsraum aussieht, wenn wir z.B. eine Gleichverteilung auf [0,1] haben und wie die von einer Zufallsvariablen erzeugten Sigma-Algebra aussehen würde.

Vielen Dank

18.06.2017, 17:27

HAL 9000

Allgemeines Verständnis Sigma-algebra erzeugt von Zufallsvariable

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