Laurentreihe und Umgebung isolierter Singularitäten

18.06.2017, 18:18	Celine1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurentreihe und Umgebung isolierter Singularitäten Meine Frage: Guten Abend miteinander! Ich bräuchte mal euren Rat bei folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb C^x -> \mathbb C^x ,f(z) = e^{-z^{-2}} \end{eqnarray}$ . 1) Entwickle f auf $\begin{eqnarray} \mathbb C^x \end{eqnarray}$ in eine Laurentreihe. 2) Welche Art isolierte Singularität liegt in $\begin{eqnarray} z_{0}=0 \end{eqnarray}$ vor. 3) Gibt es eine Nullfolge $\begin{eqnarray} z_{n} \subset \mathbb C^x \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } z_{n} = 0 \end{eqnarray}$ ), sodass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } f(z_{n}) = 1 \end{eqnarray}$ ? 4) Gibt es eine Nullfolge $\begin{eqnarray} z_{n} \subset \mathbb C^x \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } z_{n} = 0 \end{eqnarray}$ ), sodass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } f(z_{n}) = 0 \end{eqnarray}$ ? Hinweis: Satz von Casorati-Weierstraß. Meine Ideen: zu 1) bin mir recht sicher das die Laurentreihe wie folgt aussieht: $\begin{eqnarray} f(z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty } (-1)^k \frac{z^{-2k}}{k!} \end{eqnarray}$ zu 2) da $\begin{eqnarray} z^{2k}e^{-z^{-2}} = z^{2k} \sum\limits_{k=0}^{\infty } (-1)^k \frac{z^{-2k}}{k!} \end{eqnarray}$ für z gegen 0 und festes k aus N stets unbeschränkt ist, bzw. endlich viele Glieder des Hauptteils um den Punkt 0 nicht verschwinden, liegt in 0 eine wesentliche Singularität vor. zu 3)&4) Nun ist der Tipp den Satz von Casorati-Weierstraß anzuwenden, welcher mir doch eigentlich sagt, dass die Funktion (hier f) in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularität jedem Wert beliebig nahe kommt. Somit müsste sie ja auch dem Wert "1" beliebig nahe kommen, aber ich finde dafür keine passende Nullfolge. Dies sagt mir ja aber auch nicht das der Wert überhaupt angenommen wird oder? Ich habe einfach mal die standart Nullfolge $\begin{eqnarray} z_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ genommen, dafür wäre doch: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } f(z_{n}) = \lim_{n \to \infty} e^{-(\frac{1}{n})^{-2}} = \lim_{n \to \infty} e^{-n^{2}} = 0 \end{eqnarray}$ somit hätte ich ja was für "4)" gefunden, jedoch ist mir noch nicht ganz bewusst warum dies funktioniert, da in 0 ja eine wesentliche Singularität vorliegt, also eine Art Definitionslücke und 0 wird doch dann garnicht angenommen von der Funktion f, aber durch diese Nullfolge jetzt doch !? Würde mich sehr über etwas Hilfe freuen

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