Chebyshev und Erwartungswert

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DrInf Auf diesen Beitrag antworten »
Chebyshev und Erwartungswert
Meine Frage:
Hallo,

ich muss seit Beginn des neuen Semesters leider feststellen, dass mir das Themengebiet der Stochastik leider nicht im Geringsten liegt. Ich sitze nun gerade vor einer Aufgabe, wo ich zum ersten Mal überhaupt nicht mehr weiß, was von mir erwartet wird. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Ein fairer Würfel werde n mal unabhängig voneinander geworfen. Es bezeichne , die Augenzahl des i-ten Wurfes.
(a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz des arithmetischen Mittels der gewürfelten Augenzahlen.
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Chebyshev-Ungleichung eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass bei n = 1000 Würfen das arithmetische Mittel um mindestens 0.2 vom Erwartungswert abweicht.
(c) Geben Sie mit Hilfe der Chebyshev-Ungleichung ein (möglichst kleines) an, so dass der Wert von sich mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 0.05 um mindestens 0.2 vom Erwartungswert unterscheidet.

Meine Ideen:
Leider bereitet mir schon direkt (a) Kopfschmerzen. Den Erwartungswert bzw. die Varianz an sich zu berechnen, ist ja nicht schwer, aber wie genau gehe ich nun hier mit dem arithmetischen Mittel um?
Ich warne bereits schon einmal vor, dass ich höchstwahrscheinlich nicht die größte Leuchte sein werde, falls sich jemand findet, der mir hierbei ein wenig helfen kann. Ich wäre jedenfalls unheimlich dankbar für jeden Tipp!
DrInf Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, kann mir niemand weiterhelfen? unglücklich

Ich bin mir bei (a) inzwischen ziemlich sicher, dass zumindest für den Erwartungswert und unter Beachtung seiner Linearität folgendes herauskommt:



Für die Varianz habe ich außerdem folgende Regel gefunden:
.

Ich wäre wirklich so dankbar für Hilfe, ich sitze seit Tagen schon dieser Aufgabe. Gott
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DrInf (korrigiert)

ist richtig (Linearität des Erwartungswerts).

Zitat:
Original von DrInf
.

Ist richtig. Sind die aber paarweise unabhängig, dann sind sie auch unkorreliert, d.h., alle Kovarianzen zu verschiedenen i,j sind gleich Null, es gilt somit

.
DrInf Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort Gott

Das bedeutet, dass sich auch hier wieder ergeben würde
, oder? smile

Und hättest Du vielleicht die Muße mir bei den Abschätzungen bei (b) und (c) zu helfen? Das wäre wirklich toll. Gott
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Rechenregel lautet .

Aus folgt somit

.

Das ist ja der ganze Sinn der Mittelwertbildung in der Statistik: Die Varianz (und damit die Unsicherheit) des Schätzers mit steigender Stichprobengröße verringern!


Zu (b) und (c): Tschebyscheff lautet .

Und das ganze wendest du jetzt für sowie an, was denkst du denn, wozu sonst die Vorbereitung (a) diente? Augenzwinkern
DrInf Auf diesen Beitrag antworten »

Aaah natürlich! Das war dumm von mir. Vielen Dank. smile

Wie gehe ich am besten nun bei (b) vor?
 
 
DrInf Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, den Nachtrag habe ich zu spät gesehen. smile

Die Formel ist also
.
Und nun setzt die Ratlosigkeit ein. Muss hier eine Abschätzung erfolgen? Oder eine Umformung?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie sollte man auch merken, wenn man fertig ist:

Zitat:
Original von DrInf
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Chebyshev-Ungleichung eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass bei n = 1000 Würfen das arithmetische Mittel um mindestens 0.2 vom Erwartungswert abweicht.

ist diese obere Schranke. Augenzwinkern
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